T5: Física moderna · Mecánica cuántica — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T5: Física moderna

Mecánica cuántica

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

2D-b

b) Un protón se mueve con una velocidad de

3,8 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de De Broglie asociada de dicho protón; ii) la energía cinética de un electrón que tuviera igual momento lineal que el protón; iii) la velocidad del electrón.

Datos: $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ ; $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ ; $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

Longitud de onda de De BroglieMomento linealEnergía cinética

i) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa

m

que se desplaza a una velocidad

v

se define mediante la relación

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

\lambda_p = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 3,8 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = 1,04 \cdot 10^{-10} \text{ m}

ii) Según el enunciado, el momento lineal del electrón es igual al del protón (

p_e = p_p

). Calculamos primero el valor del momento lineal y luego determinamos la energía cinética del electrón mediante la expresión

E_{c,e} = \frac{p_e^2}{2 \cdot m_e}

p_e = p_p = m_p \cdot v_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 3,8 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 6,35 \cdot 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}

E_{c,e} = \frac{(6,35 \cdot 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1})^2}{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}} = 2,21 \cdot 10^{-17} \text{ J}

iii) La velocidad del electrón se obtiene despejando de la definición de momento lineal

p_e = m_e \cdot v_e

v_e = \frac{p_e}{m_e} = \frac{6,35 \cdot 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}} = 6,98 \cdot 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}