T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

D2-b

b) La radiación emitida por el

\ce{^{131}_{53}I}

tiene aplicación en el tratamiento del cáncer de tiroides. Un hospital cuenta con una muestra de

\ce{^{131}_{53}I}

cuya masa inicial era

250 \text{ g}

y que actualmente es de

10 \text{ g}

. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del

\ce{^{131}_{53}I}

es de

8,02 \text{ días}

, calcule: i) la constante radiactiva del

\ce{^{131}_{53}I}

; ii) el número inicial de núcleos que contenía la muestra; iii) la actividad actual de la muestra.

Datos: $m(\ce{^{131}_{53}I}) = 130,906126 \text{ u}$ ; $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

Ley de desintegraciónYodo-131

i) La constante radiactiva

\lambda

representa la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo y se calcula a partir del periodo de semidesintegración

T_{1/2}

mediante la relación:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

En primer lugar, es necesario expresar el periodo de semidesintegración en unidades del Sistema Internacional (segundos):

T_{1/2} = 8,02 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 692\,928 \text{ s}

Calculamos el valor de la constante radiactiva:

\lambda = \frac{\ln 2}{692\,928 \text{ s}} \approx 1,00 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

ii) El número inicial de núcleos

N_0

se obtiene relacionando la masa inicial de la muestra

m_0

con la masa de un solo núcleo de

\ce{^{131}_{53}I}

N_0 = \frac{m_0}{m(\ce{^{131}_{53}I})}

Calculamos la masa de un núcleo en kg utilizando los datos proporcionados ( $m_0 = 250 \text{ g} = 0,250 \text{ kg}$ ):

m(\ce{^{131}_{53}I}) = 130,906126 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} \approx 2,173 \cdot 10^{-25} \text{ kg}

N_0 = \frac{0,250 \text{ kg}}{2,173 \cdot 10^{-25} \text{ kg}} \approx 1,15 \cdot 10^{24} \text{ núcleos}

iii) La actividad actual

A

es la velocidad de desintegración en el momento presente, definida por la ley de la desintegración radiactiva como el producto de la constante radiactiva por el número de núcleos actuales

N

A = \lambda \cdot N = \lambda \cdot \frac{m}{m(\ce{^{131}_{53}I})}

Utilizando la masa actual $m = 10 \text{ g} = 0,010 \text{ kg}$ , determinamos el número de núcleos actuales:

N = \frac{0,010 \text{ kg}}{2,173 \cdot 10^{-25} \text{ kg}} \approx 4,60 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

Finalmente, calculamos la actividad actual en Becquerel (Bq):

A = 1,00 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1} \cdot 4,60 \cdot 10^{22} \text{ núcleos} = 4,60 \cdot 10^{16} \text{ Bq}