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T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio de masas puntuales
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
A1-b
Examen
b) Se sitúa una masa puntual de 3 kg3 \text{ kg} en el punto A(0,−2) mA(0,-2) \text{ m} y otra de 2 kg2 \text{ kg} en el punto B(3,0) mB(3,0) \text{ m}. Calcule: i) el campo gravitatorio en el origen de coordenadas, ayudándose de un esquema; ii) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2

Interacción gravitatoriaCampo gravitatorioPotencial gravitatorio
XYmm1mm2Og1g2g_neta
b) i) Cálculo del campo gravitatorio en el origen de coordenadas O(0,0)O(0,0).

El campo gravitatorio resultante g⃗O\vec{g}_O en el origen es la suma vectorial de los campos creados por las masas m1m_1 y m2m_2, según el principio de superposición:

g⃗O=g⃗1+g⃗2=∑−Gmiri2u⃗ri\vec{g}_O = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = \sum -G \frac{m_i}{r_i^2} \vec{u}_{ri}

Para la masa m1=3 kgm_1 = 3 \text{ kg} situada en A(0,−2) mA(0, -2) \text{ m}, el vector que une la masa con el origen es r⃗1O=2j⃗ m\vec{r}_{1O} = 2\vec{j} \text{ m}, por lo que el vector unitario en la dirección de la masa desde el origen es −j⃗-\vec{j}:

g⃗1=−Gm1r12j⃗=−G322j⃗=−0,75Gj⃗ N/kg\vec{g}_1 = -G \frac{m_1}{r_1^2} \vec{j} = -G \frac{3}{2^2} \vec{j} = -0,75 G \vec{j} \text{ N/kg}

Para la masa m2=2 kgm_2 = 2 \text{ kg} situada en B(3,0) mB(3, 0) \text{ m}, el vector que une la masa con el origen es r⃗2O=−3i⃗ m\vec{r}_{2O} = -3\vec{i} \text{ m}, por lo que el campo apunta hacia la derecha (+i⃗+\vec{i}):

g⃗2=−Gm2r22(−i⃗)=G232i⃗=0,22Gi⃗ N/kg\vec{g}_2 = -G \frac{m_2}{r_2^2} (-\vec{i}) = G \frac{2}{3^2} \vec{i} = 0,22 G \vec{i} \text{ N/kg}

Sumamos ambos vectores y sustituimos G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2:

g⃗O=0,22⋅6,67⋅10−11i⃗−0,75⋅6,67⋅10−11j⃗\vec{g}_O = 0,22 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 0,75 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \vec{j}
g⃗O=(1,48⋅10−11i⃗−5,00⋅10−11j⃗) N/kg\vec{g}_O = (1,48 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 5,00 \cdot 10^{-11} \vec{j}) \text{ N/kg}
b) ii) Cálculo del potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.

El potencial gravitatorio VV es una magnitud escalar. El potencial total es la suma de los potenciales individuales creados por cada masa puntual:

VO=V1+V2=−Gm1r1−Gm2r2V_O = V_1 + V_2 = -G \frac{m_1}{r_1} - G \frac{m_2}{r_2}

Sustituyendo los valores de las masas y sus distancias al origen (r1=2 mr_1 = 2 \text{ m} y r2=3 mr_2 = 3 \text{ m}):

VO=−G(32+23)=−G(9+46)=−136GV_O = -G \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \right) = -G \left( \frac{9+4}{6} \right) = -\frac{13}{6} G
VO=−136⋅6,67⋅10−11=−1,445⋅10−10 J/kgV_O = -\frac{13}{6} \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} = -1,445 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}

Por tanto, el potencial gravitatorio en el origen es:

VO≈−1,45⋅10−10 J/kgV_O \approx -1,45 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}