T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T3: Vibraciones y ondas

Ondas estacionarias

Teoría

2023 · Ordinaria · Suplente

C2-a

a) Indique las características que deben tener dos ondas que se propagan por una cuerda tensa para que la superposición de ambas origine una onda estacionaria. Escriba las ecuaciones de dichas ondas y de la onda estacionaria resultante.

superposicióninterferenciaondas estacionarias

a) Para que la superposición de dos ondas viajeras en una cuerda tensa dé lugar a una onda estacionaria, ambas deben poseer la misma amplitud

A

, la misma frecuencia

f

(y por tanto la misma frecuencia angular

\omega

), la misma longitud de onda

\lambda

(y por tanto el mismo número de onda

k

) y propagarse en la misma dirección pero en sentidos opuestos.

Consideramos dos ondas armónicas transversales que se propagan a lo largo de una cuerda tensa situada en el eje $x$ . La ecuación de la primera onda, que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ , es:

y_1(x, t) = A \sin(kx - \omega t)

La ecuación de la segunda onda, idéntica a la anterior pero propagándose en el sentido negativo del eje $x$ , es:

y_2(x, t) = A \sin(kx + \omega t)

De acuerdo con el principio de superposición, la elongación resultante $y(x, t)$ en cualquier punto de la cuerda es la suma algebraica de las elongaciones de las ondas individuales:

y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t) = A [\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]

Aplicando la identidad trigonométrica de la suma de senos, $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$ , donde $\alpha = kx + \omega t$ y $\beta = kx - \omega t$ , obtenemos la ecuación de la onda estacionaria:

y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)

En esta expresión, el término $A(x) = 2A \sin(kx)$ representa la amplitud de la oscilación armónica de cada punto de la cuerda, la cual depende exclusivamente de su posición $x$ . Los puntos con amplitud nula se denominan nodos y los puntos con amplitud máxima se denominan vientres.