Juan ha gastado 80€ por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos. a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta. b) Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57€, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 %, del 40 % y del 20 %, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.
En primer lugar, definimos las variables que representan el precio original de cada prenda:
Apartado a) Planteamos el sistema de ecuaciones con la información proporcionada: el gasto total es de 80€ y el jersey cuesta la tercera parte que la camisa y el pantalón juntos.
Para determinar si los precios son únicos, manipulamos la segunda ecuación para expresar la suma de la camisa y el pantalón en función del jersey, y sustituimos en la primera:
Como se observa, el precio del jersey queda determinado de forma única. Sin embargo, para la camisa y el pantalón obtenemos la relación:
Esta es una ecuación con dos incógnitas que admite infinitas soluciones. Por lo tanto, el precio del jersey es único (20€), pero el de la camisa no se puede determinar sin más información.Apartado b) Añadimos la información de las rebajas. Si se aplican descuentos del 30%, 40% y 20%, los precios pagados son el 70%, 60% y 80% del original, respectivamente. La nueva ecuación es:
Sustituimos el valor conocido del jersey (x = 20) en el sistema formado por la ecuación de las rebajas y la relación obtenida anteriormente:
Simplificamos la segunda ecuación:
Resolvemos el sistema por sustitución, despejando y de la primera ecuación (y = 60 - z) y sustituyendo en la segunda:
Finalmente, calculamos el precio de la camisa:
Los precios de las prendas antes de las rebajas son: Jersey: 20€, Camisa: 25€ y Pantalón: 35€.