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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2023 · Ordinaria · Titular
D1-b
Examen
b) Los neutrones que se emiten en un proceso de fisión nuclear tienen una energía cinética de 1,6⋅10−13 J1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J}. i) Determine razonadamente su longitud de onda de De Broglie y su velocidad. ii) Calcule la longitud de onda de De Broglie cuando la velocidad de los neutrones se reduce a la mitad.

Datos: h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; mn=1,67⋅10−27 kgm_n = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Longitud de onda de De BroglieEnergía cinéticaVelocidad de partículas
i) Para determinar la velocidad de los neutrones a partir de su energía cinética, utilizamos la expresión clásica de la energía cinética, ya que la velocidad resultante es significativamente inferior a la velocidad de la luz en el vacío cc.
Ek=12mv2  ⟹  v=2EkmE_k = \frac{1}{2} m v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}}

Sustituimos los valores de la energía cinética Ek=1,6⋅10−13 JE_k = 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J} y la masa del neutrón mn=1,67⋅10−27 kgm_n = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}:

v=2⋅1,6⋅10−13 J1,67⋅10−27 kg=1,38⋅107 m⋅s−1v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} = 1,38 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda asociada a una partícula con movimiento rectilíneo y uniforme es inversamente proporcional a su momento lineal pp:

λ=hp=hmv\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

Utilizando la constante de Planck h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}:

λ=6,63⋅10−34 J⋅s1,67⋅10−27 kg⋅1,38⋅107 m⋅s−1=2,88⋅10−14 m\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 1,38 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = 2,88 \cdot 10^{-14} \text{ m}
ii) Si la velocidad de los neutrones se reduce a la mitad (v′=v/2v' = v/2), la nueva longitud de onda de De Broglie λ′\lambda' se calcula aplicando de nuevo la relación fundamental:
λ′=hmv′=hmv2=2(hmv)=2λ\lambda' = \frac{h}{m v'} = \frac{h}{m \frac{v}{2}} = 2 \left( \frac{h}{m v} \right) = 2 \lambda

Como se observa, la longitud de onda es inversamente proporcional a la velocidad, por lo que al reducirse esta a la mitad, la longitud de onda se duplica:

λ′=2⋅2,88⋅10−14 m=5,76⋅10−14 m\lambda' = 2 \cdot 2,88 \cdot 10^{-14} \text{ m} = 5,76 \cdot 10^{-14} \text{ m}