T5: Física moderna · Dualidad onda-corpúsculo — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2023 · Extraordinaria · Titular

D2-a

a) Una molécula de oxígeno y otra de nitrógeno tienen la misma energía cinética. Determine razonadamente la relación entre las longitudes de onda de estas dos moléculas sabiendo que la masa de la molécula de oxígeno es

1,14

veces mayor que la masa de la de nitrógeno.

Hipótesis de De BroglieEnergía cinética

a) Para determinar la relación entre las longitudes de onda de de Broglie de las dos moléculas, partimos de la hipótesis de de Broglie, que establece que toda partícula en movimiento tiene una longitud de onda asociada

\lambda

inversamente proporcional a su momento lineal

p

\lambda = \frac{h}{p}

Donde $h$ es la constante de Planck. La relación entre la energía cinética ( $E_c$ ) y el momento lineal ( $p$ ) para una partícula de masa $m$ viene dada por la expresión $E_c = \frac{p^2}{2m}$ . Al despejar el momento lineal, obtenemos:

p = \sqrt{2 m E_c}

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de la longitud de onda de de Broglie, obtenemos la dependencia de $\lambda$ respecto a la masa y la energía cinética:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_c}}

Puesto que el enunciado indica que ambas moléculas tienen la misma energía cinética ( $E_{c, O_2} = E_{c, N_2}$ ), podemos establecer la relación entre sus longitudes de onda mediante un cociente:

\frac{\lambda_{O_2}}{\lambda_{N_2}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2 m_{O_2} E_c}}}{\frac{h}{\sqrt{2 m_{N_2} E_c}}} = \sqrt{\frac{m_{N_2}}{m_{O_2}}}

Según los datos proporcionados, la masa de la molécula de oxígeno es $1,14$ veces mayor que la de nitrógeno ( $m_{O_2} = 1,14 \cdot m_{N_2}$ ). Sustituimos esta relación en la ecuación anterior:

\frac{\lambda_{O_2}}{\lambda_{N_2}} = \sqrt{\frac{m_{N_2}}{1,14 \cdot m_{N_2}}} = \sqrt{\frac{1}{1,14}}

Realizando el cálculo numérico final:

\frac{\lambda_{O_2}}{\lambda_{N_2}} \approx 0,937

Concluimos que la longitud de onda de de Broglie de la molécula de oxígeno es $0,937$ veces la longitud de onda de la molécula de nitrógeno. Esto confirma que, a igualdad de energía cinética, la partícula con mayor masa posee una longitud de onda asociada menor.