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T5: Física moderna
Efecto fotoeléctrico
Problema
2023 · Ordinaria · Reserva
D1-b
Examen
b) Cuando se ilumina una célula fotoeléctrica con luz monocromática de frecuencia 1,2⋅1015 Hz1,2 \cdot 10^{15} \text{ Hz} se observa el paso de una corriente eléctrica que se anula aplicando una diferencia de potencial de 2 V2 \text{ V}. i) Determine la frecuencia umbral. ii) A continuación se ilumina con luz monocromática de longitud de onda de 1,5⋅10−7 m1,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}. ¿Con qué velocidad máxima se emiten los electrones?

Datos: c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

Potencial de frenadoFrecuencia umbral
i) Para determinar la frecuencia umbral f0f_0, partimos de la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico, donde la energía del fotón incidente (h⋅fh \cdot f) se emplea en vencer el trabajo de extracción del metal (W0W_0) y en proporcionar energía cinética a los electrones emitidos (Ek,maxE_{k,max}):
h⋅f=W0+Ek,maxh \cdot f = W_0 + E_{k,max}

Sabiendo que el trabajo de extracción es W0=h⋅f0W_0 = h \cdot f_0 y que la energía cinética máxima está relacionada con el potencial de frenado VsV_s mediante la expresión Ek,max=e⋅VsE_{k,max} = e \cdot V_s, podemos reescribir la ecuación como:

h⋅f=h⋅f0+e⋅Vs  ⟹  f0=f−e⋅Vshh \cdot f = h \cdot f_0 + e \cdot V_s \implies f_0 = f - \frac{e \cdot V_s}{h}

Sustituyendo los valores proporcionados en el enunciado:

f0=1,2⋅1015 Hz−1,6⋅10−19 C⋅2 V6,63⋅10−34 J⋅s=7,17⋅1014 Hzf_0 = 1,2 \cdot 10^{15} \text{ Hz} - \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 2 \text{ V}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}} = 7,17 \cdot 10^{14} \text{ Hz}
ii) Para calcular la velocidad máxima de los electrones cuando se ilumina con una longitud de onda de λ=1,5⋅10−7 m\lambda = 1,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}, calculamos primero la nueva energía del fotón incidente (EphE_{ph}) y el trabajo de extracción (W0W_0):
Eph=h⋅cλ=6,63⋅10−34 J⋅s⋅3⋅108 m⋅s−11,5⋅10−7 m=1,326⋅10−18 JE_{ph} = h \cdot \frac{c}{\lambda} = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s} \cdot \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{1,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 1,326 \cdot 10^{-18} \text{ J}
W0=h⋅f0=6,63⋅10−34 J⋅s⋅7,17⋅1014 Hz=4,75⋅10−19 JW_0 = h \cdot f_0 = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s} \cdot 7,17 \cdot 10^{14} \text{ Hz} = 4,75 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Utilizando la conservación de la energía, determinamos la energía cinética máxima y, posteriormente, la velocidad máxima despejándola de su fórmula cinemática:

Ek,max=Eph−W0=1,326⋅10−18 J−4,75⋅10−19 J=8,51⋅10−19 JE_{k,max} = E_{ph} - W_0 = 1,326 \cdot 10^{-18} \text{ J} - 4,75 \cdot 10^{-19} \text{ J} = 8,51 \cdot 10^{-19} \text{ J}
Ek,max=12mevmax2  ⟹  vmax=2⋅Ek,maxmeE_{k,max} = \frac{1}{2} m_e v_{max}^2 \implies v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{k,max}}{m_e}}
vmax=2⋅8,51⋅10−19 J9,1⋅10−31 kg=1,367⋅106 m⋅s−1v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8,51 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} = 1,367 \cdot 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}