🔍
Escribe al menos 2 caracteres...
AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
B2-b
Examen

Una espira de 12 cm12 \text{ cm} de radio se coloca en un campo magnético uniforme de 0,5 T0,5 \text{ T} y se hace girar con una frecuencia de 20 Hz20 \text{ Hz} en torno a uno de sus diámetros. En el instante inicial el plano de la espira es perpendicular al campo.

b) i) Escriba la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.ii) Determine el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida.
espira giratoriaflujo magnéticofuerza electromotriz
b) i) Escriba la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.

Para obtener la expresión del flujo magnético Φ(t)\Phi(t), primero identificamos los datos en el Sistema Internacional y calculamos la superficie SS de la espira y la velocidad angular de rotación ω\omega:

r=12 cm=0,12 mr = 12 \text{ cm} = 0,12 \text{ m}
S=π⋅r2=π⋅(0,12 m)2=0,0144π m2S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,12 \text{ m})^2 = 0,0144\pi \text{ m}^2
ω=2⋅π⋅f=2⋅π⋅20 Hz=40π rad⋅s−1\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = 2 \cdot \pi \cdot 20 \text{ Hz} = 40\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

La expresión general del flujo magnético para una espira que gira en un campo magnético uniforme es:

\Phi(t) = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos(\theta)

Donde θ=ωt+φ0\theta = \omega t + \varphi_0. Dado que en el instante inicial (t=0t = 0) el plano de la espira es perpendicular al campo, el vector superficie S⃗\vec{S} (perpendicular al plano) es paralelo al vector B⃗\vec{B}. Por tanto, φ0=0\varphi_0 = 0 y el ángulo es θ=ωt\theta = \omega t.Sustituyendo los valores de BB, SS y ω\omega:

Φ(t)=0,5 T⋅0,0144π m2⋅cos⁡(40πt)\Phi(t) = 0,5 \text{ T} \cdot 0,0144\pi \text{ m}^2 \cdot \cos(40\pi t)
Φ(t)=0,0072π⋅cos⁡(40πt) Wb\Phi(t) = 0,0072\pi \cdot \cos(40\pi t) \text{ Wb}
b) ii) Determine el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida.

De acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida ε(t)\varepsilon(t) es la variación temporal del flujo magnético:

ε(t)=−dΦdt=−ddt[B⋅S⋅cos⁡(ωt)]=B⋅S⋅ω⋅sin⁡(ωt)\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt} [B \cdot S \cdot \cos(\omega t)] = B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)

El valor máximo de la fuerza electromotriz εmax\varepsilon_{\text{max}} se produce cuando sin⁡(ωt)=±1\sin(\omega t) = \pm 1:

εmax=B⋅S⋅ω\varepsilon_{\text{max}} = B \cdot S \cdot \omega

Sustituimos los valores calculados anteriormente:

εmax=0,5⋅0,0144π⋅40π=0,288⋅π2 V\varepsilon_{\text{max}} = 0,5 \cdot 0,0144\pi \cdot 40\pi = 0,288 \cdot \pi^2 \text{ V}

Calculando el valor numérico final utilizando π≈3,1416\pi \approx 3,1416:

εmax≈2,84 V\varepsilon_{\text{max}} \approx 2,84 \text{ V}