T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2023 · Extraordinaria · Reserva

A2-a

a) Un planeta tiene una masa igual a

27

veces la masa de la Tierra, su radio es

3

veces el terrestre. i) Determine la relación entre los valores de la aceleración de la gravedad en la superficie de este planeta y la que tenemos en la superficie de la Tierra. ii) Obtenga la relación entre las velocidades de escape desde la superficie de ambos planetas.

GravedadVelocidad de escape

a) i) Para determinar la relación entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie, utilizamos la expresión de la intensidad del campo gravitatorio generada por una masa puntual o con simetría esférica:

g = G \frac{M}{R^2}

Sean $M_T$ y $R_T$ la masa y el radio de la Tierra, y $M_p$ y $R_p$ los del planeta. Según el enunciado, sabemos que $M_p = 27 M_T$ y $R_p = 3 R_T$ . Expresamos la gravedad del planeta en función de los valores terrestres:

g_p = G \frac{M_p}{R_p^2} = G \frac{27 M_T}{(3 R_T)^2}

Desarrollamos el cuadrado del denominador y simplificamos la fracción para encontrar la relación con $g_T$ :

g_p = G \frac{27 M_T}{9 R_T^2} = 3 \left( G \frac{M_T}{R_T^2} \right) = 3 g_T

La aceleración de la gravedad en el planeta es 3 veces mayor que en la Tierra. Por tanto, la relación es:

\frac{g_p}{g_T} = 3

a) ii) La velocidad de escape desde la superficie de un planeta se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, considerando que en el infinito la energía potencial y cinética son nulas:

v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Sustituimos los valores de masa y radio del planeta en la fórmula de la velocidad de escape:

v_{ep} = \sqrt{\frac{2G(27 M_T)}{3 R_T}} = \sqrt{9 \frac{2GM_T}{R_T}}

Extrayendo la raíz cuadrada del factor numérico, obtenemos la relación respecto a la velocidad de escape terrestre $v_{eT}$ :

v_{ep} = 3 \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}} = 3 v_{eT}

La relación entre las velocidades de escape es:

\frac{v_{ep}}{v_{eT}} = 3