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T6: Teoría de muestras
Intervalos de confianza para la media
Problema
2025 · Ordinaria
6
Examen

El tiempo de estudio semanal de los estudiantes andaluces, medido en horas, se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 5 horas. A partir de una muestra de 81 estudiantes se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media poblacional es (10.794, 13.206), con un nivel de confianza del 97%. a) Obtenga el tiempo medio de estudio de esa muestra de estudiantes. b) Si se amplía el tamaño de la muestra, razone si manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza aumenta o disminuye. c) Si se desea reducir la amplitud del intervalo de confianza, razone si manteniendo el tamaño muestral, ha de reducirse o aumentarse el nivel de confianza. d) Si la media de la población es de 10.2 horas y sabiendo que la media muestral es de 12 horas, calcule el tamaño máximo de la muestra para obtener un intervalo de confianza que contenga la media poblacional, manteniendo el 97% de confianza.

Distribución NormalIntervalo de confianzaError de estimación+1

a) En un intervalo de confianza para la media de una distribución Normal, el estimador puntual (la media muestral) se encuentra exactamente en el centro del intervalo. Por lo tanto, podemos calcularla como el valor medio de los extremos del intervalo proporcionado.

xˉ=10.794+13.2062\bar{x} = \frac{10.794 + 13.206}{2}
xˉ=242=12 horas\bar{x} = \frac{24}{2} = 12 \text{ horas}

b) La amplitud de un intervalo de confianza se define como la diferencia entre el extremo superior y el inferior, lo cual equivale a dos veces el error máximo admisible:

A=2⋅E=2⋅zα/2⋅σnA = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Si se mantiene el nivel de confianza (y por tanto el valor crítico) y aumenta el tamaño de la muestra, el denominador de la fracción crece. Al ser la amplitud inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño muestral, si el tamaño de la muestra aumenta, la amplitud del intervalo de confianza disminuye. c) Analizando de nuevo la fórmula de la amplitud, observamos que esta es directamente proporcional al valor crítico, el cual depende del nivel de confianza. Para reducir la amplitud manteniendo el tamaño muestral constante, es necesario que el valor crítico disminuya. Una disminución en el valor crítico implica que el área central de la distribución Normal es menor, por lo que el nivel de confianza debe reducirse. d) Para que el intervalo de confianza contenga a la media poblacional, la distancia entre la media muestral y la poblacional debe ser menor o igual al error máximo admisible:

∣xˉ−μ∣≤E  ⟹  ∣xˉ−μ∣≤zα/2⋅σn|\bar{x} - \mu| \le E \implies |\bar{x} - \mu| \le z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Primero, calculamos el valor crítico para un nivel de confianza del 97%:

1−α=0.97  ⟹  α=0.03  ⟹  α2=0.0151 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015
P(Z≤zα/2)=1−0.015=0.985  ⟹  zα/2=2.17P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17

Sustituimos los valores conocidos en la desigualdad para despejar el tamaño muestral:

∣12−10.2∣≤2.17⋅5n|12 - 10.2| \le 2.17 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}}
1.8≤10.85n  ⟹  n≤10.851.81.8 \le \frac{10.85}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} \le \frac{10.85}{1.8}
\sqrt{n} \le 6.0277 \implies n \le (6.0277)^2 \implies n \le 36.33$}

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, el valor máximo posible para que se cumpla la condición es 36.