T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T6: Física nuclear

Radiactividad

Teoría

2023 · Extraordinaria · Titular

D1-a

a) Se tienen dos muestras radiactivas de dos elementos diferentes, ambas con el mismo número inicial de núcleos. La constante radiactiva de un elemento es el doble que la del otro. i) Deduzca cómo cambia con el tiempo la relación entre el número de núcleos de las dos muestras. ii) Determine cómo varía con el tiempo la relación entre las actividades de las dos muestras.

Desintegración radiactivaActividad radiactiva

a) i) Deduzca cómo cambia con el tiempo la relación entre el número de núcleos de las dos muestras.

La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos $N(t)$ de una muestra en un instante dado depende del número inicial de núcleos $N_0$ y de su constante radiactiva $\lambda$ según la expresión:

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

Sean dos muestras con constantes $\lambda_1$ y $\lambda_2$ . Según el enunciado, ambas tienen el mismo número inicial de núcleos $N_{01} = N_{02} = N_0$ , y la constante del primer elemento es el doble que la del segundo, es decir, $\lambda_1 = 2\lambda_2$ . Escribimos las expresiones para cada muestra:

N_1(t) = N_0 e^{-2\lambda_2 t}

N_2(t) = N_0 e^{-\lambda_2 t}

La relación entre el número de núcleos de ambas muestras en un instante $t$ se obtiene dividiendo ambas ecuaciones:

\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{N_0 e^{-2\lambda_2 t}}{N_0 e^{-\lambda_2 t}} = e^{-2\lambda_2 t - (-\lambda_2 t)}

Simplificando la expresión exponencial, obtenemos el resultado final para la relación de núcleos:

\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = e^{-\lambda_2 t}

Como se observa, la relación disminuye exponencialmente con el tiempo.

a) ii) Determine cómo varía con el tiempo la relación entre las actividades de las dos muestras.

La actividad $A(t)$ de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones por unidad de tiempo y es directamente proporcional al número de núcleos presentes:

A(t) = \lambda N(t)

Sustituyendo las expresiones de $N(t)$ para cada muestra, las actividades son:

A_1(t) = \lambda_1 N_0 e^{-\lambda_1 t} = 2\lambda_2 N_0 e^{-2\lambda_2 t}

A_2(t) = \lambda_2 N_0 e^{-\lambda_2 t}

Calculamos la relación entre las actividades dividiendo ambas expresiones:

\frac{A_1(t)}{A_2(t)} = \frac{2\lambda_2 N_0 e^{-2\lambda_2 t}}{\lambda_2 N_0 e^{-\lambda_2 t}}

Al simplificar los términos comunes $\lambda_2$ y $N_0$ , así como operar con las potencias de base $e$ , la relación de actividades resulta:

\frac{A_1(t)}{A_2(t)} = 2 e^{-\lambda_2 t}

Se concluye que la relación entre las actividades también disminuye de forma exponencial con el tiempo, comenzando desde un valor inicial de $2$ cuando $t=0$ .