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T6: Física nuclear
Radiactividad
Teoría
2025 · Extraordinaria · Suplente
D-a
Examen
FÍSICA RELATIVISTA, CUÁNTICA Y DE PARTÍCULAS
a) Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: en un proceso de desintegración radiactiva, la relación entre los núcleos que quedan sin desintegrar entre dos tiempos t1t_1 y t2t_2 (t2>t1t_2 > t_1), que distan 2T1/22T_{1/2}, es N(t2)/N(t1)=1/4N(t_2)/N(t_1) = 1/4.
Desintegración radiactivaPeriodo de semidesintegración
FÍSICA RELATIVISTA, CUÁNTICA Y DE PARTÍCULAS
a) Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: en un proceso de desintegración radiactiva, la relación entre los núcleos que quedan sin desintegrar entre dos tiempos t1t_1 y t2t_2 (t2>t1t_2 > t_1), que distan 2T1/22T_{1/2}, es N(t2)/N(t1)=1/4N(t_2)/N(t_1) = 1/4.

La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos N(t)N(t) que permanecen sin desintegrar en una muestra en un instante de tiempo tt viene dado por la siguiente función exponencial decreciente:

N(t)=N0e−λtN(t) = N_0 e^{-\lambda t}

Donde N0N_0 representa el número inicial de núcleos y λ\lambda es la constante de desintegración. La constante λ\lambda se define en función del periodo de semidesintegración T1/2T_{1/2} (tiempo necesario para que la muestra se reduzca a la mitad) como:

λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Para analizar la relación entre el número de núcleos en los instantes t1t_1 y t2t_2, calculamos el cociente entre ambas expresiones:

N(t2)N(t1)=N0e−λt2N0e−λt1=e−λ(t2−t1)\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = \frac{N_0 e^{-\lambda t_2}}{N_0 e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}

De acuerdo con el enunciado, la diferencia de tiempo entre ambos instantes es exactamente dos veces el periodo de semidesintegración, es decir, t2−t1=2T1/2t_2 - t_1 = 2T_{1/2}. Sustituyendo este valor y la expresión de la constante radiactiva en el exponente, obtenemos:

N(t2)N(t1)=e−(ln⁡2T1/2)2T1/2=e−2ln⁡2\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = e^{-\left( \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \right) 2T_{1/2}} = e^{-2 \ln 2}

Utilizando las propiedades de los logaritmos, sabemos que −2ln⁡2=ln⁡(2−2)-2 \ln 2 = \ln(2^{-2}). Por lo tanto, simplificando la función exponencial:

N(t2)N(t1)=eln⁡(2−2)=2−2=122=14\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = e^{\ln(2^{-2})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

Dado que el cálculo demuestra que la relación es exactamente 1/41/4, podemos concluir que la afirmación es verdadera.