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T7: Distribución binomial
Cálculo de probabilidades binomiales
Problema
2025 · Ordinaria
5
Examen

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20% de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio. a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio. b) Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. c) Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas. d) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13?

Distribución binomialEsperanza matemáticaProbabilidad

Para resolver este problema, definimos la variable aleatoria X como el número de personas que contratan el servicio de energía solar. Dado que cada persona tiene una probabilidad fija de contratar el servicio y las decisiones son independientes, X sigue una distribución binomial:

X∼B(n,p) donde n=20 y p=0.20X \sim B(n, p) \text{ donde } n = 20 \text{ y } p = 0.20

La función de probabilidad de una distribución binomial para obtener exactamente k éxitos es:

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

a) Calculamos la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio:

P(X=10)=(2010)(0.20)10(0.80)10P(X = 10) = \binom{20}{10} (0.20)^{10} (0.80)^{10}
P(X=10)=184756⋅0.0000001024⋅0.1073741824≈0.00203P(X = 10) = 184756 \cdot 0.0000001024 \cdot 0.1073741824 \approx 0.00203

b) Calculamos la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. Para ello, utilizamos el suceso complementario:

P(X≥2)=1−P(X<2)=1−[P(X=0)+P(X=1)]P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Calculamos las probabilidades individuales para k=0 y k=1:

P(X=0)=(200)(0.20)0(0.80)20≈0.01153P(X = 0) = \binom{20}{0} (0.20)^0 (0.80)^{20} \approx 0.01153
P(X=1)=(201)(0.20)1(0.80)19≈0.05765P(X = 1) = \binom{20}{1} (0.20)^1 (0.80)^{19} \approx 0.05765

Sustituimos en la fórmula del suceso complementario:

P(X≥2)=1−(0.01153+0.05765)=1−0.06918=0.93082P(X \ge 2) = 1 - (0.01153 + 0.05765) = 1 - 0.06918 = 0.93082

c) El valor esperado (o media) para una distribución binomial se calcula mediante el producto del número de ensayos por la probabilidad de éxito:

E[X]=n⋅p=20⋅0.20=4 personasE[X] = n \cdot p = 20 \cdot 0.20 = 4 \text{ personas}

d) Para determinar cuántas personas (n') se deben seleccionar para que el valor esperado sea mayor o igual a 13, planteamos la siguiente inecuación:

E[X′]≥13⇒n′⋅p≥13E[X'] \ge 13 \Rightarrow n' \cdot p \ge 13
n′⋅0.20≥13⇒n′≥130.20n' \cdot 0.20 \ge 13 \Rightarrow n' \ge \frac{13}{0.20}
n′≥65n' \ge 65

Los resultados finales son: a) 0.00203, b) 0.93082, c) 4 \text{ personas}, d) 65 \text{ personas}.