T5: Física moderna · Dualidad onda-corpúsculo — FISICA PEvAU Andalucía 2025

T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2025 · Extraordinaria · Titular

D-a

Un mesón $\pi$ tiene una masa $274$ veces mayor que la de un electrón. Si ambas partículas tienen la misma longitud de onda de De Broglie, determine:

i) la relación entre sus velocidades.ii) la relación entre sus energías cinéticas.

Hipótesis de De BroglieEnergía cinéticaRelación de velocidades

Relación de De Broglie para mesón y electrón

Partimos de los datos proporcionados por el enunciado, donde la masa del mesón es $m_{\pi} = 274 \cdot m_e$ y ambas partículas poseen la misma longitud de onda de De Broglie $\lambda_{\pi} = \lambda_e$ .

i) Relación entre sus velocidades.

La hipótesis de De Broglie establece que la longitud de onda $\lambda$ asociada a una partícula es inversamente proporcional a su momento lineal $p$ :

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Igualamos las expresiones para el mesón y el electrón según la condición del enunciado:

\frac{h}{m_{\pi} \cdot v_{\pi}} = \frac{h}{m_e \cdot v_e}

Simplificando la constante de Planck $h$ y despejando la relación de velocidades:

\frac{v_e}{v_{\pi}} = \frac{m_{\pi}}{m_e}

Sustituyendo la relación de masas dada:

\frac{v_e}{v_{\pi}} = \frac{274 \cdot m_e}{m_e} = 274

Por lo tanto, la velocidad del electrón es 274 veces mayor que la del mesón.

ii) Relación entre sus energías cinéticas.

La energía cinética $E_c$ se puede expresar en función del momento lineal $p$ de la siguiente forma:

E_c = \frac{1}{2} m \cdot v^2 = \frac{p^2}{2 \cdot m}

Como $\lambda_{\pi} = \lambda_e$ , entonces sus momentos lineales son iguales ( $p_{\pi} = p_e$ ). Calculamos la relación entre sus energías cinéticas:

\frac{E_{c,e}}{E_{c,\pi}} = \frac{\frac{p^2}{2 \cdot m_e}}{\frac{p^2}{2 \cdot m_{\pi}}} = \frac{m_{\pi}}{m_e}

Sustituyendo el valor de la masa del mesón respecto a la del electrón:

\frac{E_{c,e}}{E_{c,\pi}} = \frac{274 \cdot m_e}{m_e} = 274

La energía cinética del electrón es 274 veces la energía cinética del mesón.