T6: Física nuclear · Desintegración radiactiva

T6: Física nuclear

Desintegración radiactiva

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

D-b2

b2) La masa de un núcleo de plutonio-239 es

239,05 \text{ u}

y su periodo de semidesintegración es

24200

años. Determine: i) la constante de desintegración; ii) la actividad de una muestra de

1 \text{ mg}

de plutonio-239; iii) el tiempo necesario para que quede el

25\%

de los núcleos de la muestra anterior.

Dato: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$

Actividad radiactivaPeriodo de semidesintegraciónPlutonio

i) La constante de desintegración

\lambda

se calcula a partir del periodo de semidesintegración

T_{1/2}

mediante la relación:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Para obtener el resultado en el Sistema Internacional, convertimos el periodo a segundos:

T_{1/2} = 24200 \text{ años} \cdot \frac{365 \text{ días}}{1 \text{ año}} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 7,631 \cdot 10^{11} \text{ s}

\lambda = \frac{\ln 2}{7,631 \cdot 10^{11} \text{ s}} = 9,083 \cdot 10^{-13} \text{ s}^{-1}

ii) La actividad

A

de la muestra se define como el producto de la constante de desintegración por el número de núcleos presentes

N

A = \lambda \cdot N

Calculamos primero el número de núcleos en $1 \text{ mg}$ ( $10^{-3} \text{ g}$ ) de plutonio-239, sabiendo que su masa atómica es $239,05 \text{ u}$ (equivalente a $239,05 \text{ g} \cdot \text{mol}^{-1}$ ):

N = \frac{m}{M} \cdot N_A = \frac{10^{-3} \text{ g}}{239,05 \text{ g} \cdot \text{mol}^{-1}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ núcleos} \cdot \text{mol}^{-1} = 2,518 \cdot 10^{18} \text{ núcleos}

Sustituimos en la fórmula de la actividad:

A = 9,083 \cdot 10^{-13} \text{ s}^{-1} \cdot 2,518 \cdot 10^{18} = 2,287 \cdot 10^6 \text{ Bq}

iii) El tiempo necesario para que quede el

25\%

de los núcleos se determina mediante la ley de desintegración radiactiva:

N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \implies \frac{N}{N_0} = 0,25

Dado que el $25\%$ es la cuarta parte de la muestra inicial ( $1/4 = (1/2)^2$ ), este proceso requiere exactamente dos periodos de semidesintegración:

t = 2 \cdot T_{1/2}

t = 2 \cdot 24200 \text{ años} = 48400 \text{ años}

En unidades del Sistema Internacional, este tiempo equivale a:

t = 48400 \text{ años} \cdot \frac{3,1536 \cdot 10^7 \text{ s}}{1 \text{ año}} \approx 1,526 \cdot 10^{12} \text{ s}