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T1: Interacción gravitatoria
Satélites
Problema
2023 · Extraordinaria · Reserva
A2-b
Examen
b) Un satélite de 1000 kg1000 \text{ kg} en órbita alrededor de la Tierra da 1212 vueltas al día. Determine razonadamente: i) el radio de la órbita; ii) la velocidad orbital; iii) la energía mecánica del satélite en dicha órbita. Razone el signo obtenido.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2;MT=5,98⋅1024 kgG = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}.

ÓrbitaVelocidad orbitalEnergía mecánica
TierramFgv
b) i) Para determinar el radio de la órbita, primero calculamos el periodo de revolución (TT) a partir del número de vueltas diarias. Si el satélite da 1212 vueltas al día, el periodo es:
T=24⋅3600 s12=7200 sT = \frac{24 \cdot 3600 \text{ s}}{12} = 7200 \text{ s}

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta, lo que permite deducir la tercera ley de Kepler:

GMTmr2=mv2r=m4π2rT2  ⟹  r3=GMTT24π2G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2} \implies r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}

Sustituyendo los valores constantes y el periodo calculado:

r=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2⋅5,98⋅1024 kg⋅(7200 s)24π23r = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot (7200 \text{ s})^2}{4\pi^2}}
r=8,06⋅106 mr = 8,06 \cdot 10^6 \text{ m}
b) ii) La velocidad orbital (vv) se obtiene a partir de la relación entre la fuerza gravitatoria y la aceleración centrípeta:
v=GMTrv = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Sustituyendo los valores del radio obtenido y las constantes:

v=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2⋅5,98⋅1024 kg8,06⋅106 mv = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{8,06 \cdot 10^6 \text{ m}}}
v=7034,7 m⋅s−1v = 7034,7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
b) iii) La energía mecánica (EmE_m) de un satélite en órbita circular es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:
Em=Ec+Ep=12mv2−GMTmr=−12GMTmrE_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{1}{2} \frac{G M_T m}{r}

Sustituyendo los datos del problema:

Em=−126,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅10008,06⋅106E_m = -\frac{1}{2} \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot 1000}{8,06 \cdot 10^6}
Em=−2,47⋅1010 JE_m = -2,47 \cdot 10^{10} \text{ J}

El signo negativo de la energía mecánica indica que el satélite se encuentra en un estado ligado. Esto significa que el satélite está atrapado en el pozo de potencial gravitatorio de la Tierra y no tiene energía suficiente para escapar al infinito por sí solo; se requiere realizar un trabajo externo positivo para alejarlo del planeta.