T6: Física nuclear · Cinética de desintegración

T6: Física nuclear

Cinética de desintegración

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

D1-b

b) El yodo-131 es un isotopo radiactivo con un periodo de semidesintegración de

8 \text{ días}

utilizado para el tratamiento de enfermedades de la glándula tiroides. Se dispone de una muestra de yodo-131 con una actividad inicial de

7,6 \cdot 10^{16} \text{ Bq}

. Determine razonadamente: i) la masa de la muestra inicial; ii) el número de núcleos que se han desintegrado después de

25 \text{ días}

; iii) la actividad de la muestra transcurrido ese periodo de tiempo.

Datos: $m(^{131}_{53}\ce{I}) = 130,906125 \text{ u}; 1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

yodo-131periodo de semidesintegraciónactividad radiactiva

En primer lugar, calculamos la constante de desintegración radiactiva ( $\lambda$ ) a partir del periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ), asegurándonos de convertir el tiempo al Sistema Internacional (segundos).

T_{1/2} = 8 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 691200 \text{ s}

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{\ln(2)}{691200 \text{ s}} \approx 1,0028 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

i) Para determinar la masa inicial de la muestra, primero calculamos el número inicial de núcleos (

N_0

) utilizando la relación entre la actividad y el número de núcleos (

A = \lambda N

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{7,6 \cdot 10^{16} \text{ Bq}}{1,0028 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}} = 7,578 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

Conocido el número de núcleos, la masa inicial ( $m_0$ ) se obtiene multiplicando este número por la masa de un solo átomo (proporcionada en unidades de masa atómica y convertida a kg).

m_0 = N_0 \cdot m(^{131}\ce{I}) = 7,578 \cdot 10^{22} \cdot 130,906125 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u}

m_0 \approx 0,01646 \text{ kg} = 16,46 \text{ g}

ii) El número de núcleos que se han desintegrado (

\Delta N

) tras

t = 25 \text{ días}

es la diferencia entre los núcleos iniciales (

N_0

) y los núcleos que quedan sin desintegrar (

N

N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}

\Delta N = N_0 - N = N_0 (1 - 2^{-t/T_{1/2}})

\Delta N = 7,578 \cdot 10^{22} \cdot (1 - 2^{-25/8}) = 7,578 \cdot 10^{22} \cdot (1 - 0,1146) = 6,709 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

iii) La actividad de la muestra transcurrido ese periodo de tiempo (

A

) sigue la ley de decaimiento exponencial.

A = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}

A = 7,6 \cdot 10^{16} \text{ Bq} \cdot 2^{-25/8} = 7,6 \cdot 10^{16} \cdot 0,1146 \approx 8,71 \cdot 10^{15} \text{ Bq}