T1: Interacción gravitatoria

Órbitas y energía

Teoría

2024 · Ordinaria · Suplente

A1-a

Dos satélites, A y B, describen órbitas circulares concéntricas alrededor de la Tierra. Razone cuál de los dos tiene mayor energía cinética en las siguientes situaciones:

i) sus masas son iguales y el radio orbital de A es mayor que el de B;ii) los dos satélites están en la misma órbita y la masa de A es menor que la de B.

Energía cinéticaÓrbitas circularesSatélites

Para un satélite de masa $m$ que describe una órbita circular de radio $r$ alrededor de la Tierra (de masa $M$ ), la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta, permitiendo mantener el movimiento circular:

F_g = F_c \implies G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

A partir de esta igualdad, despejamos el cuadrado de la velocidad orbital $v^2$ :

v^2 = \frac{G M}{r}

La energía cinética $E_k$ de un cuerpo se define como $\frac{1}{2} m v^2$ . Sustituyendo la expresión anterior, obtenemos la energía cinética del satélite en función del radio de su órbita y su masa:

E_k = \frac{1}{2} m \left( \frac{G M}{r} \right) = \frac{G M m}{2 r}

i) En el caso en que las masas son iguales (

m_A = m_B

) y el radio orbital de A es mayor que el de B (

r_A > r_B

Como la energía cinética es inversamente proporcional al radio de la órbita ( $E_k \propto 1/r$ ) para una misma masa, a mayor radio corresponde una menor energía cinética. Por lo tanto, si $r_A > r_B$ , entonces:

E_{k,A} < E_{k,B}

El satélite B tiene mayor energía cinética.

ii) En el caso en que los dos satélites están en la misma órbita (

r_A = r_B

) y la masa de A es menor que la de B (

m_A < m_B

En esta situación, la energía cinética es directamente proporcional a la masa del satélite ( $E_k \propto m$ ) al ser el radio constante. Por lo tanto, si $m_A < m_B$ , entonces:

E_{k,A} < E_{k,B}

El satélite B tiene, de nuevo, mayor energía cinética.