T1: Interacción gravitatoria

Energía orbital

Teoría

2023 · Ordinaria · Reserva

A2-a

a) Dos satélites A y B describen órbitas circulares alrededor de la Tierra. Razone cuál de los dos satélites tiene mayor energía cinética en cada una de las situaciones siguientes: i) las masas de ambos son idénticas y el radio de la órbita del satélite A es mayor que el de B; ii) los radios de sus órbitas son iguales pero la masa del satélite B es mayor que la de A.

Energía cinéticaÓrbita circular

Para un satélite de masa $m$ en una órbita circular de radio $r$ alrededor de la Tierra (de masa $M$ ), la fuerza gravitatoria es la responsable del movimiento circular, actuando como fuerza centrípeta:

G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

De la igualdad anterior, podemos despejar el cuadrado de la velocidad orbital $v^2$ :

v^2 = \frac{G M}{r}

La energía cinética $E_c$ del satélite viene dada por la expresión:

E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{G M m}{2r}

a) i) Si las masas de ambos son idénticas (

m_A = m_B

) y el radio de la órbita del satélite A es mayor que el de B (

r_A > r_B

A partir de la expresión de la energía cinética $E_c = \frac{G M m}{2r}$ , observamos que para una misma masa, la energía cinética es inversamente proporcional al radio de la órbita. Por tanto, si $r_A > r_B$ , se deduce que:

E_{c,A} < E_{c,B}

El satélite B tiene mayor energía cinética.

a) ii) Si los radios de sus órbitas son iguales (

r_A = r_B

) pero la masa del satélite B es mayor que la de A (

m_B > m_A

En esta situación, la energía cinética es directamente proporcional a la masa del satélite. Al ser el radio constante para ambos, comparamos sus masas:

E_{c,B} = \frac{G M m_B}{2r} > E_{c,A} = \frac{G M m_A}{2r}

Dado que $m_B > m_A$ , el satélite B tiene mayor energía cinética.