T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Teoría

2024 · Ordinaria · Titular

1C-a

a) Demuestre razonadamente, a partir de la ecuación de onda, cómo varían la velocidad y la aceleración máxima de oscilación de una onda armónica en las siguientes situaciones: i) se duplica la amplitud sin modificar el periodo; ii) se duplica la frecuencia sin modificar la amplitud.

Velocidad de oscilaciónAceleración de oscilaciónParámetros ondulatorios

a) Demuestre razonadamente, a partir de la ecuación de onda, cómo varían la velocidad y la aceleración máxima de oscilación de una onda armónica en las situaciones propuestas.

Consideramos la ecuación de una onda armónica unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ :

y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud y $\omega$ es la frecuencia angular ( $2\pi f$ o $2\pi/T$ ). La velocidad de oscilación de un punto del medio se obtiene mediante la derivada parcial de la elongación respecto al tiempo:

v(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A \omega \cos(kx - \omega t + \phi_0)

El valor máximo de la velocidad de oscilación ( $v_{\text{max}}$ ) se alcanza cuando el término del coseno es igual a $\pm 1$ :

v_{\text{max}} = A \omega

La aceleración de oscilación se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo:

a(x,t) = \frac{\partial v}{\partial t} = -A \omega^2 \sin(kx - \omega t + \phi_0)

El valor máximo de la aceleración de oscilación ( $a_{\text{max}}$ ) se produce cuando el término del seno es $\pm 1$ :

a_{\text{max}} = A \omega^2

i) Se duplica la amplitud sin modificar el periodo (

A' = 2A, T' = T

Dado que el periodo no varía, la frecuencia angular $\omega = \frac{2\pi}{T}$ permanece constante ( $\omega' = \omega$ ). Analizamos los nuevos valores máximos:

v'_{\text{max}} = A' \omega' = (2A) \omega = 2 v_{\text{max}}

a'_{\text{max}} = A' (\omega')^2 = (2A) \omega^2 = 2 a_{\text{max}}

En esta situación, tanto la velocidad máxima como la aceleración máxima se duplican.

ii) Se duplica la frecuencia sin modificar la amplitud (

f' = 2f, A' = A

Al duplicarse la frecuencia, la frecuencia angular también se duplica, ya que $\omega = 2\pi f$ :

\omega' = 2\pi (2f) = 2\omega

Calculamos las variaciones en los valores máximos:

v'_{\text{max}} = A' \omega' = A (2\omega) = 2 v_{\text{max}}

a'_{\text{max}} = A' (\omega')^2 = A (2\omega)^2 = 4 A \omega^2 = 4 a_{\text{max}}

En esta situación, la velocidad máxima se duplica y la aceleración máxima se cuadruplica.