T3: Vibraciones y ondas · Ondas viajeras — FISICA PEvAU Andalucía 2025

T3: Vibraciones y ondas

Ondas viajeras

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

C-b2

La ecuación de una onda viajera que se propaga por una cuerda tensa es:

y(x,t) = 10 \cdot \sin(25 t - 15 x) \text{ (SI)}

Calcule razonadamente:

i) la velocidad de propagación de la onda.ii) la velocidad de oscilación de la cuerda en el punto

x = 0 \text{ m}

t = 5 \text{ s}

.iii) la diferencia de fase entre dos puntos que, en el mismo instante, están separados

2 \text{ m}

Ondas mecánicasVelocidad de propagaciónFase de onda

Resolución de la onda viajera

Dada la ecuación de la onda en el Sistema Internacional, $y(x,t) = 10 \sin(25t - 15x)$ , podemos identificar sus parámetros fundamentales comparándola con la expresión general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha: $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx)$ .

A = 10 \text{ m}; \quad \omega = 25 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}; \quad k = 15 \text{ m}^{-1}

i) La velocidad de propagación de la onda (

v

) es la rapidez con la que se desplaza el perfil de la onda a través del medio. Se calcula mediante la relación entre la frecuencia angular (

\omega

) y el número de onda (

k

v = \frac{\omega}{k}

v = \frac{25 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}}{15 \text{ m}^{-1}} = \frac{5}{3} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 1,67 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

ii) La velocidad de oscilación de la cuerda (

v_y

) representa la velocidad transversal de un punto de la misma. Se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = A \omega \cos(\omega t - kx)

Para el punto $x = 0 \text{ m}$ en el instante $t = 5 \text{ s}$ :

v_y(0, 5) = 10 \cdot 25 \cdot \cos(25 \cdot 5 - 15 \cdot 0) = 250 \cdot \cos(125) \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Calculando el valor numérico (con el argumento en radianes):

v_y(0, 5) \approx 250 \cdot 0,6669 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 166,73 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

iii) La diferencia de fase (

\Delta \phi

) entre dos puntos

x_1

x_2

en un mismo instante de tiempo se determina por la diferencia de sus posiciones multiplicada por el número de onda:

\Delta \phi = |( \omega t - k x_2 ) - ( \omega t - k x_1 )| = k \cdot |x_1 - x_2| = k \cdot \Delta x

Para una separación de $\Delta x = 2 \text{ m}$ :

\Delta \phi = 15 \text{ m}^{-1} \cdot 2 \text{ m} = 30 \text{ rad}