T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

B-b1

b1) Una espira cuadrada contenida en el plano

XY

, de

30 \text{ cm}

de lado y

1 \ \Omega

de resistencia, se mueve con una velocidad

\vec{v} = 10\vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. La espira penetra en un campo magnético

\vec{B} = 0,05\vec{k} \text{ T}

. Calcule razonadamente el valor de la corriente inducida en la espira en los siguientes casos: i) mientras está entrando en el campo; ii) mientras se mueve en el seno del campo. En ambas situaciones, realice un esquema indicando el campo inducido en el interior de la espira y la corriente inducida.

Ley de FaradayLey de LenzCorriente inducida

i) Mientras la espira está entrando en el campo magnético, el flujo magnético

\Phi

a través de ella varía debido al incremento de la superficie

S

que se encuentra sumergida en la región del campo

\vec{B}

El flujo magnético en un instante dado, considerando que la espira ha penetrado una distancia $x$ en el campo (siendo $x = v \cdot t$ ), se define como:

\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot (L \cdot x) \cdot \cos(0^\circ) = B \cdot L \cdot x

De acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida $\epsilon$ es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

\epsilon = - \frac{d\Phi}{dt} = - B \cdot L \cdot \frac{dx}{dt} = - B \cdot L \cdot v

Sustituyendo los valores numéricos con $L = 0,3 \text{ m}$ , $v = 10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $B = 0,05 \text{ T}$ :

|\epsilon| = 0,05 \text{ T} \cdot 0,3 \text{ m} \cdot 10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 0,15 \text{ V}

Aplicando la ley de Ohm, calculamos la intensidad de la corriente inducida $I$ con $R = 1 \ \Omega$ :

I = \frac{|\epsilon|}{R} = \frac{0,15 \text{ V}}{1 \ \Omega} = 0,15 \text{ A}

Según la ley de Lenz, la corriente inducida crea un campo magnético $\vec{B}_{ind}$ que se opone al aumento del flujo. Como $\vec{B}$ es saliente y el flujo aumenta, $\vec{B}_{ind}$ debe ser entrante (sentido $-\vec{k}$ ). Por la regla de la mano derecha, la corriente $I$ circula en sentido horario. El esquema de fuerzas de Lorentz sobre las cargas del conductor lateral derecho que entra en el campo es el siguiente:

ii) Mientras la espira se mueve íntegramente dentro del campo magnético.

En esta situación, tanto el módulo del campo magnético $B$ como la superficie $S$ de la espira atravesada por las líneas de campo permanecen constantes, ya que toda la superficie $S = L^2$ está dentro de la región con campo uniforme.

\Phi = B \cdot S = B \cdot L^2 = \text{constante}

Al ser el flujo constante, su derivada respecto al tiempo es nula, por lo que no se induce fuerza electromotriz ni corriente:

\epsilon = - \frac{d\Phi}{dt} = 0 \implies I = 0 \text{ A}

Al no haber variación de flujo, no existe campo magnético inducido ni corriente en el interior de la espira en este tramo.