T1: Interacción gravitatoria

Velocidad de escape

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

A-b2

b2) Para salir de la Luna, los astronautas del Apolo tuvieron que despegar de su superficie en su módulo lunar de

15000 \text{ kg}

. Calcule razonadamente: i) la velocidad de escape de la Luna; ii) la energía cinética mínima necesaria para que el vehículo escape de la Luna; iii) la velocidad con que llegaría a la Tierra una nave, inicialmente en reposo, desde una altura de

2,5 \cdot 10^4 \text{ km}

sobre la superficie terrestre. Considere despreciable el rozamiento con el aire y el efecto de la Luna.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_L = 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}; R_L = 1740 \text{ km}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}$

Velocidad de escapeEnergía cinéticaGravedad

i) La velocidad de escape de un cuerpo celeste es la velocidad mínima que debe comunicarse a un objeto para que este escape de la atracción gravitatoria del mismo, alcanzando el infinito con velocidad nula. Según el principio de conservación de la energía mecánica, la energía total en la superficie debe ser igual a la energía total en el infinito (

E_{\infty} = 0

E_{m(sup)} = E_{m(\infty)} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M_L m}{R_L} = 0

Despejando la velocidad de escape $v_e$ , obtenemos la expresión general:

v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}}

Sustituimos los valores de la Luna en unidades del S.I. ( $R_L = 1,74 \cdot 10^6 \text{ m}$ ):

v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 \cdot 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}}{1,74 \cdot 10^6 \text{ m}}} = 2373,81 \text{ m/s}

ii) La energía cinética mínima necesaria para que el vehículo escape corresponde a la energía que permite al módulo lunar alcanzar el infinito con velocidad nula. Esta energía cinética coincide con el valor absoluto de su energía potencial en la superficie de la Luna.

E_c = \frac{1}{2} m v_e^2 = G \frac{M_L m}{R_L}

Utilizando la masa del módulo $m = 15000 \text{ kg}$ :

E_c = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7,35 \cdot 10^{22} \cdot 15000}{1,74 \cdot 10^6} = 4,226 \cdot 10^{10} \text{ J}

iii) Para calcular la velocidad de llegada a la Tierra, aplicamos de nuevo el principio de conservación de la energía mecánica entre el punto inicial (altura

h

) y el punto final (superficie terrestre). La distancia inicial al centro de la Tierra es

r_1 = R_T + h

y la final es

r_2 = R_T

E_{m1} = E_{m2} \Rightarrow -G \frac{M_T m}{R_T + h} + 0 = -G \frac{M_T m}{R_T} + \frac{1}{2} m v^2

Simplificando la masa de la nave $m$ y despejando la velocidad final $v$ :

v = \sqrt{2 G M_T \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h} \right)}

Sustituimos los datos de la Tierra ( $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ y $h = 2,5 \cdot 10^7 \text{ m}$ ):

v = \sqrt{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \left( \frac{1}{6,37 \cdot 10^6} - \frac{1}{3,137 \cdot 10^7} \right)}

v = \sqrt{7,977 \cdot 10^{14} \cdot (1,5698 \cdot 10^{-7} - 3,1878 \cdot 10^{-8})} = 9989,61 \text{ m/s}