T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2025

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

D-b1

El cobalto-60 ( $\ce{^{60}_{27}Co}$ ) se utiliza frecuentemente como fuente radiactiva en medicina. Su periodo de semidesintegración es $5,25 \text{ años}$ .

i) ¿Cuántos años deben transcurrir para que su actividad disminuya a una octava parte del valor original?ii) Calcule qué fracción de la muestra original queda al cabo de

8,32 \text{ años}

Desintegración radiactivaPeriodo de semidesintegraciónActividad radiactiva

Desintegración radiactiva del Cobalto-60

La desintegración de una muestra radiactiva sigue una ley exponencial decreciente. La actividad $A$ y el número de núcleos $N$ en un instante $t$ se relacionan con sus valores iniciales a través de la constante de desintegración $\lambda$ o el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ .

i) ¿Cuántos años deben transcurrir para que su actividad disminuya a una octava parte del valor original?

La actividad en un instante dado se puede expresar en función del número de periodos de semidesintegración ( $n$ ) transcurridos como:

A = \frac{A_0}{2^n}

Si la actividad final es una octava parte de la inicial, tenemos que $A = A_0 / 8$ . Dado que $8 = 2^3$ , podemos identificar el número de periodos transcurridos:

\frac{A_0}{8} = \frac{A_0}{2^n} \implies 2^3 = 2^n \implies n = 3

El tiempo transcurrido es el producto del número de periodos por la duración de cada periodo ( $T_{1/2} = 5,25 \text{ años}$ ):

t = n \cdot T_{1/2} = 3 \cdot 5,25 \text{ años} = 15,75 \text{ años}

ii) Calcule qué fracción de la muestra original queda al cabo de 8,32 años.

La fracción de la muestra que queda es la relación $N/N_0$ . Utilizaremos la ley de desintegración radiactiva:

N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Primero, calculamos la constante de desintegración $\lambda$ a partir del periodo de semidesintegración:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{5,25 \text{ años}} \approx 0,132 \text{ años}^{-1}

Sustituimos el tiempo dado ( $t = 8,32 \text{ años}$ ) para hallar la fracción restante:

\frac{N}{N_0} = e^{-0,132 \text{ años}^{-1} \cdot 8,32 \text{ años}} = e^{-1,098}

\frac{N}{N_0} \approx 0,333

La fracción de la muestra original que queda es aproximadamente $0,333$ (es decir, un tercio de la muestra inicial).