T2: Interacción electromagnética

Campo magnético de corrientes

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

B-b1

b1) Dos conductores rectilíneos muy largos se disponen paralelamente al eje

OZ

. El primero pasa por el punto

A(0,1) \text{ m}

y el segundo por el punto

B(0,4) \text{ m}

del plano

XY

. Por ellos circulan corrientes de

1 \text{ A}

2 \text{ A}

, respectivamente, hacia la parte positiva del eje

OZ

. i) Realice un esquema y calcule el vector campo magnético total en el punto

C(0,3) \text{ m}

del plano

XY

. ii) Calcule la fuerza por unidad de longitud que se ejerce sobre el conductor por el que pasa

2 \text{ A}

. Justifique sus respuestas.

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$

Conductores rectilíneosLey de AmpèreFuerza magnética entre conductores

i) Realice un esquema y calcule el vector campo magnético total en el punto

C(0,3) \text{ m}

del plano

XY

Para calcular el vector campo magnético total en el punto $C$ , aplicamos el principio de superposición. El campo magnético $\vec{B}$ creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ viene dado por la Ley de Ampère:

B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}

La dirección y sentido del campo se determinan mediante la regla de la mano derecha (producto vectorial $\vec{I} \times \vec{u}_r$ ). Dado que los conductores son paralelos al eje $OZ$ , el campo estará en el plano $XY$ .Para el primer conductor ( $I_1 = 1 \text{ A}$ ) en $A(0,1)$ : la distancia a $C(0,3)$ es $r_1 = 3 - 1 = 2 \text{ m}$ . En ese punto, el campo apunta en el sentido negativo del eje $X$ :

\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} (-\vec{i}) = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1}{2 \pi \cdot 2} (-\vec{i}) = -10^{-7} \vec{i} \text{ T}

Para el segundo conductor ( $I_2 = 2 \text{ A}$ ) en $B(0,4)$ : la distancia a $C(0,3)$ es $r_2 = 4 - 3 = 1 \text{ m}$ . En ese punto, el campo apunta en el sentido positivo del eje $X$ :

\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} (\vec{i}) = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2}{2 \pi \cdot 1} (\vec{i}) = 4 \cdot 10^{-7} \vec{i} \text{ T}

El campo magnético total en $C$ es la suma vectorial de ambos:

\vec{B}_C = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = (-1 \cdot 10^{-7} + 4 \cdot 10^{-7}) \vec{i} = 3 \cdot 10^{-7} \vec{i} \text{ T}

ii) Calcule la fuerza por unidad de longitud que se ejerce sobre el conductor por el que pasa

2 \text{ A}

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos viene dada por la expresión:

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}

Donde $d$ es la distancia entre los conductores: $d = 4 - 1 = 3 \text{ m}$ . Sustituyendo los valores:

\frac{F}{L} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 2}{2 \pi \cdot 3} = \frac{4}{3} \cdot 10^{-7} \approx 1.33 \cdot 10^{-7} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}

Dado que ambas corrientes circulan en el mismo sentido (hacia $+OZ$ ), la fuerza entre ellas es atractiva. Por tanto, la fuerza sobre el segundo conductor (situado en $y=4 \text{ m}$ ) se dirige hacia el primero (en $y=1 \text{ m}$ ), es decir, en la dirección negativa del eje $Y$ :

\frac{\vec{F}}{L} = -1.33 \cdot 10^{-7} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}