T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2024 · Extraordinaria · Reserva

A1-a

a) Una partícula puntual de masa

m

está situada en el punto

A(d,0)

y otra de masa

2m

está situada en el punto

B(-d,0)

. Deduzca razonadamente la expresión del campo gravitatorio en el origen de coordenadas y represéntelo.

Campo gravitatorioSuperposiciónPartículas puntuales

a) Para determinar el campo gravitatorio en el origen de coordenadas

O(0,0)

, debemos aplicar el Principio de Superposición. El campo gravitatorio total será la suma vectorial de los campos creados individualmente por la masa

m

(situada en

A

) y la masa

2m

(situada en

B

\vec{g} = \sum \vec{g}_i = -G \sum \frac{M_i}{r_i^2} \vec{u}_{r,i}

El campo gravitatorio $\vec{g}_A$ creado por la masa $m$ situada en $A(d,0)$ en el origen apunta hacia la propia masa (sentido positivo del eje X). La distancia es $d$ y el vector unitario que apunta desde el origen hacia la masa es $\vec{u}_A = \vec{i}$ .

\vec{g}_A = G \frac{m}{d^2} \vec{i}

El campo gravitatorio $\vec{g}_B$ creado por la masa $2m$ situada en $B(-d,0)$ en el origen apunta hacia el punto $B$ (sentido negativo del eje X). El vector unitario desde el origen hacia dicha masa es $\vec{u}_B = -\vec{i}$ .

\vec{g}_B = G \frac{2m}{d^2} (-\vec{i}) = -G \frac{2m}{d^2} \vec{i}

Sumamos ambos vectores para obtener el campo resultante en el origen:

\vec{g}_{O} = \vec{g}_A + \vec{g}_B = G \frac{m}{d^2} \vec{i} - G \frac{2m}{d^2} \vec{i} = -G \frac{m}{d^2} \vec{i} \text{ (N/kg)}

El campo resultante tiene módulo $G \frac{m}{d^2}$ , dirección horizontal y sentido hacia la izquierda (hacia la masa de mayor valor, $2m$ ).