T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

A1-b

b) Dos partículas iguales de masa

2 \text{ kg}

están situadas en los puntos

A(-5,0) \text{ m}

B(5,0) \text{ m}

. Calcule razonadamente: i) el campo gravitatorio creado en el punto

C(0,4) \text{ m}

y represéntelo gráficamente; ii) el trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando se traslada una tercera masa de

1 \text{ kg}

desde el punto

C

hasta el punto

O(0,0) \text{ m}

. Justifique el signo del trabajo.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$

Campo gravitatorioTrabajo gravitatorio

i) Calcule razonadamente el campo gravitatorio creado en el punto

C(0,4) \text{ m}

y represéntelo gráficamente.

El campo gravitatorio total en el punto $C$ es la suma vectorial de los campos creados por las masas situadas en $A$ y $B$ . Debido a la simetría del problema, las componentes horizontales del campo se anulan, y el campo resultante estará dirigido hacia el origen sobre el eje $y$ . Primero, calculamos la distancia desde las masas al punto $C$ :

r_{AC} = r_{BC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \text{ m}

La expresión vectorial del campo gravitatorio creado por una masa puntual es $\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r$ . Sumando las componentes de ambas masas:

\vec{g}_C = \vec{g}_A + \vec{g}_B = \left( 0, -2 G \frac{M}{r_{AC}^2} \sin \theta \right) \vec{j}

Donde $\sin \theta = \frac{y_C}{r_{AC}} = \frac{4}{\sqrt{41}}$ . Sustituimos los valores numéricos:

\vec{g}_C = -2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2}{41} \frac{4}{\sqrt{41}} \vec{j} = -4,065 \cdot 10^{-12} \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

ii) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando se traslada una tercera masa de

1 \text{ kg}

desde el punto

C

hasta el punto

O(0,0) \text{ m}

. Justifique el signo del trabajo.

El trabajo realizado por el campo (fuerza conservativa) se define como el valor negativo de la variación de la energía potencial, o bien mediante el potencial gravitatorio $V$ como $W_{C \to O} = -m_3 \Delta V = m_3(V_C - V_O)$ . Calculamos los potenciales en $C$ y en $O$ :

V_C = -G \frac{m_A}{r_{AC}} - G \frac{m_B}{r_{BC}} = -2G \frac{2}{\sqrt{41}} = -4,166 \cdot 10^{-11} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

V_O = -G \frac{m_A}{r_{AO}} - G \frac{m_B}{r_{BO}} = -2G \frac{2}{5} = -5,336 \cdot 10^{-11} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Sustituyendo en la expresión del trabajo para $m_3 = 1 \text{ kg}$ :

W_{C \to O} = 1 \cdot (-4,166 \cdot 10^{-11} - (-5,336 \cdot 10^{-11})) = 1,17 \cdot 10^{-11} \text{ J}

El trabajo es positivo ( $W > 0$ ) porque la masa se desplaza a favor de las fuerzas del campo (desde un punto de mayor potencial a uno de menor potencial). Esto indica que el proceso es espontáneo y el campo es quien realiza el trabajo sobre la partícula.