T2: Interacción electromagnética

Electrostática

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

B-b2

Dos cargas de $+2 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $+4 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ están fijas en los puntos $A(0,0) \text{ m}$ y $B(6,0) \text{ m}$ , respectivamente.

i) Determine, apoyándose en un esquema, el punto donde podría dejarse una tercera carga para que permaneciera en reposo.ii) Calcule los vectores fuerza que ejercen cada una de las dos primeras cargas sobre una carga de

+3 \cdot 10^{-6} \text{ C}

situada en el punto anterior.iii) Calcule la energía potencial de esa carga.

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

Ley de CoulombCampo eléctricoPotencial eléctrico+1

i) Determine, apoyándose en un esquema, el punto donde podría dejarse una tercera carga para que permaneciera en reposo.

Para que una carga $q_3$ permanezca en reposo en presencia de otras dos cargas, la fuerza neta sobre ella debe ser nula. Esto ocurre en el punto donde el campo eléctrico total creado por $q_1$ y $q_2$ sea cero. Dado que ambas cargas son del mismo signo (positivas), este punto debe encontrarse en el segmento que las une. Si situamos la carga $q_3$ en una posición $(x, 0)$ entre $A(0,0)$ y $B(6,0)$ , las distancias a las cargas son $r_1 = x$ y $r_2 = 6 - x$ .

Igualamos el módulo de las intensidades de campo eléctrico generadas por cada carga en dicho punto:

E_1 = E_2 \implies \frac{K \cdot q_1}{x^2} = \frac{K \cdot q_2}{(6-x)^2}

Sustituimos los valores de las cargas $q_1 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $q_2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y simplificamos:

\frac{2 \cdot 10^{-6}}{x^2} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{(6-x)^2} \implies \frac{1}{x^2} = \frac{2}{(6-x)^2}

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados para hallar la solución física entre las cargas:

\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2}}{6-x} \implies 6 - x = x\sqrt{2}

x = \frac{6}{1 + \sqrt{2}} \approx \frac{6}{2,4142} \approx 2,485 \text{ m}

El punto de equilibrio se encuentra en $(2,485, 0) \text{ m}$ .

ii) Calcule los vectores fuerza que ejercen cada una de las dos primeras cargas sobre una carga de

+3 \cdot 10^{-6} \text{ C}

situada en el punto anterior.

La fuerza que ejerce $q_1$ sobre $q_3$ se calcula mediante la ley de Coulomb en forma vectorial:

\vec{F}_{13} = K \frac{q_1 q_3}{r_{13}^2} \vec{i} = 9 \cdot 10^9 \frac{(2 \cdot 10^{-6})(3 \cdot 10^{-6})}{(2,485)^2} \vec{i}

\vec{F}_{13} = \frac{0,054}{6,175} \vec{i} \approx 8,74 \cdot 10^{-3} \vec{i} \text{ N}

La fuerza que ejerce $q_2$ sobre $q_3$ , al estar $q_3$ en el punto de equilibrio, debe ser de igual magnitud y sentido opuesto:

\vec{F}_{23} = - K \frac{q_2 q_3}{r_{23}^2} \vec{i} = - 9 \cdot 10^9 \frac{(4 \cdot 10^{-6})(3 \cdot 10^{-6})}{(6 - 2,485)^2} \vec{i}

\vec{F}_{23} = - \frac{0,108}{12,355} \vec{i} \approx - 8,74 \cdot 10^{-3} \vec{i} \text{ N}

iii) Calcule la energía potencial de esa carga.

La energía potencial de la carga $q_3$ es la suma de las energías potenciales debidas a su interacción con $q_1$ y $q_2$ (principio de superposición):

E_p = E_{p,13} + E_{p,23} = K \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + K \frac{q_2 q_3}{r_{23}}

Sustituimos los valores numéricos con $r_{13} = 2,485 \text{ m}$ y $r_{23} = 3,515 \text{ m}$ :

E_p = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^{-6}}{2,485} + \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^{-6}}{3,515} \right)

E_p = \frac{0,054}{2,485} + \frac{0,108}{3,515} \approx 0,02173 + 0,03073 = 0,05246 \text{ J}

La energía potencial total de la carga $q_3$ en el punto de equilibrio es de $5,25 \cdot 10^{-2} \text{ J}$ .