T1: Interacción gravitatoria

Órbitas circulares

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

A1-b

b) El satélite meteorológico chino FY-3 tiene una masa de

2300 \text{ kg}

y orbita alrededor de la Tierra con un periodo de

102,85 \text{ minutos}

. Determine razonadamente: i) la altura de la órbita de FY-3; ii) la velocidad orbital; iii) la energía que hay que suministrar a FY-3 desde su órbita para que escape del campo gravitatorio terrestre.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$

Velocidad orbitalEnergía de escapeSatélite

i) Determine razonadamente la altura de la órbita de FY-3.

En primer lugar, convertimos el periodo orbital a unidades del Sistema Internacional: $T = 102,85 \text{ min} \cdot 60 \text{ s/min} = 6171 \text{ s}$ . Para que el satélite mantenga una órbita circular estable, la fuerza de atracción gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta:

F_g = F_c \implies G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Sustituyendo la velocidad orbital en función del periodo $v = \frac{2\pi r}{T}$ , obtenemos la Tercera Ley de Kepler, que permite calcular el radio de la órbita $r$ desde el centro de la Tierra:

r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2} \implies r = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4\pi^2}}

r = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot (6171 \text{ s})^2}{4\pi^2}} \approx 7,274 \cdot 10^6 \text{ m}

La altura $h$ sobre la superficie terrestre se obtiene restando el radio de la Tierra $R_T$ al radio de la órbita:

h = r - R_T = 7,274 \cdot 10^6 \text{ m} - 6,370 \cdot 10^6 \text{ m} = 9,04 \cdot 10^5 \text{ m} = 904 \text{ km}

ii) Determine la velocidad orbital.

La velocidad orbital se calcula a partir de la longitud de la circunferencia de la órbita y el tiempo empleado en recorrerla (periodo):

v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 7,274 \cdot 10^6 \text{ m}}{6171 \text{ s}} \approx 7406,4 \text{ m/s}

iii) Determine la energía que hay que suministrar a FY-3 desde su órbita para que escape del campo gravitatorio terrestre.

Para que un cuerpo escape de un campo gravitatorio, su energía mecánica final debe ser al menos cero ( $E_{\infty} = 0$ ). La energía mecánica del satélite en su órbita es la suma de su energía cinética y potencial:

E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G \frac{M_T m}{r} = - \frac{G M_T m}{2r}

La energía que hay que suministrar $\Delta E$ es el trabajo necesario para alcanzar el nivel de energía de escape:

\Delta E = E_{\infty} - E_m = 0 - \left( - \frac{G M_T m}{2r} \right) = \frac{G M_T m}{2r}

\Delta E = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot 2300}{2 \cdot 7,274 \cdot 10^6} \approx 6,307 \cdot 10^{10} \text{ J}