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T4: Funciones
Límites con parámetros
Cálculo
2025 · Ordinaria
2
Examen

Sabiendo que el siguiente límite es finito, calcula a y el valor del límite:

lim⁡x→0sen(x)−ax+2−2cos⁡(x)ex−xcos⁡(x)−1\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - ax + 2 - 2 \cos(x)}{e^x - x \cos(x) - 1}
LímitesRegla de L'HôpitalContinuidad

Para que el límite sea finito, primero analizamos el comportamiento de la función cuando xx tiende a 0. Evaluamos el numerador y el denominador por separado:

lim⁡x→0sen(x)−ax+2−2cos⁡(x)ex−xcos⁡(x)−1\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - ax + 2 - 2 \cos(x)}{e^x - x \cos(x) - 1}

Sustituyendo x=0x = 0 en el denominador:

e0−0⋅cos⁡(0)−1=1−0−1=0e^0 - 0 \cdot \cos(0) - 1 = 1 - 0 - 1 = 0

Sustituyendo x=0x = 0 en el numerador:

sen(0)−a(0)+2−2cos⁡(0)=0−0+2−2=0\text{sen}(0) - a(0) + 2 - 2 \cos(0) = 0 - 0 + 2 - 2 = 0

Obtenemos una indeterminación del tipo 0/00/0. Aplicamos la Regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:

lim⁡x→0ddx(sen(x)−ax+2−2cos⁡(x))ddx(ex−xcos⁡(x)−1)=lim⁡x→0cos⁡(x)−a+2sen(x)ex−(cos⁡(x)−xsen(x))\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\text{sen}(x) - ax + 2 - 2 \cos(x))}{\frac{d}{dx}(e^x - x \cos(x) - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - a + 2 \text{sen}(x)}{e^x - (\cos(x) - x \text{sen}(x))}

Simplificamos la expresión obtenida:

lim⁡x→0cos⁡(x)−a+2sen(x)ex−cos⁡(x)+xsen(x)\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - a + 2 \text{sen}(x)}{e^x - \cos(x) + x \text{sen}(x)}

Volvemos a evaluar el límite en x=0x = 0. El denominador resulta en:

e0−cos⁡(0)+0⋅sen(0)=1−1+0=0e^0 - \cos(0) + 0 \cdot \text{sen}(0) = 1 - 1 + 0 = 0

Para que el límite sea finito, el numerador también debe anularse en x=0x = 0 (condición necesaria para evitar que el límite sea infinito):

cos⁡(0)−a+2sen(0)=0  ⟹  1−a+0=0  ⟹  a=1\cos(0) - a + 2 \text{sen}(0) = 0 \implies 1 - a + 0 = 0 \implies a = 1

Una vez hallado el valor de a=1a = 1, la expresión presenta nuevamente una indeterminación 0/00/0. Aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez:

lim⁡x→0ddx(cos⁡(x)−1+2sen(x))ddx(ex−cos⁡(x)+xsen(x))=lim⁡x→0−sen(x)+2cos⁡(x)ex+sen(x)+(sen(x)+xcos⁡(x))\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\cos(x) - 1 + 2 \text{sen}(x))}{\frac{d}{dx}(e^x - \cos(x) + x \text{sen}(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x) + 2 \cos(x)}{e^x + \text{sen}(x) + (\text{sen}(x) + x \cos(x))}

Simplificamos el denominador y evaluamos el límite final sustituyendo x=0x = 0:

lim⁡x→0−sen(x)+2cos⁡(x)ex+2sen(x)+xcos⁡(x)=−sen(0)+2cos⁡(0)e0+2sen(0)+0⋅cos⁡(0)\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x) + 2 \cos(x)}{e^x + 2 \text{sen}(x) + x \cos(x)} = \frac{-\text{sen}(0) + 2 \cos(0)}{e^0 + 2 \text{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0)}
0+2(1)1+0+0=21=2\frac{0 + 2(1)}{1 + 0 + 0} = \frac{2}{1} = 2

Por lo tanto, los valores solicitados son a=1a = 1 y el valor del límite es 22.