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T2: Interacción electromagnética
Magnetismo
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
B2-b
Examen
b) Por un hilo conductor muy largo, situado en el eje OXOX, circula una corriente de intensidad 5 A5 \text{ A} en el sentido positivo de dicho eje. Un protón que se encuentra en el punto PP de coordenadas x=0,y=10,z=0 cmx = 0, y = 10, z = 0 \text{ cm} tiene una velocidad de 2⋅106i⃗ m s−12 \cdot 10^{6} \vec{i} \text{ m s}^{-1}. i) Realice un esquema incluyendo los vectores velocidad, campo magnético y fuerza sobre el protón, razonando su dirección y sentido. ii) Determine el vector campo eléctrico que habría que aplicar para que la velocidad del protón permanezca constante.

Datos: e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; μ0=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}

Ley de AmpèreFuerza magnéticaCampo magnético
i) El campo magnético B⃗\vec{B} generado por un hilo conductor indefinido por el que circula una intensidad II en un punto situado a una distancia rr viene determinado por la ley de Ampère. En el punto P(0,10,0) cmP(0, 10, 0) \text{ cm}, el vector posición respecto al hilo es r⃗=0,1j⃗ m\vec{r} = 0,1 \vec{j} \text{ m}. Según la regla de la mano derecha, para una corriente en el sentido +x+x (vector unitario i⃗\vec{i}), el campo magnético en un punto situado en el eje +y+y tiene dirección perpendicular al plano XYXY y sentido positivo del eje ZZ (+z+z).
B⃗=μ0I2πrk⃗\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{k}

La fuerza de Lorentz sobre una carga qq en movimiento dentro de un campo magnético es F⃗m=q(v⃗×B⃗)\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B}). Dado que el protón se mueve en el sentido +x+x (v⃗=vi⃗\vec{v} = v \vec{i}) y el campo magnético apunta en el sentido +z+z (k⃗\vec{k}), el producto vectorial i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} resulta en −j⃗-\vec{j}. Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el protón (carga positiva) tiene dirección del eje YY y sentido negativo.

B (saliente)⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙+vF
ii) Para que la velocidad del protón permanezca constante, la fuerza neta sobre él debe ser cero (primera ley de Newton). Esto implica que la fuerza eléctrica F⃗e\vec{F}_e debe compensar exactamente a la fuerza magnética F⃗m\vec{F}_m:
∑F⃗=F⃗e+F⃗m=0⇒qE⃗+q(v⃗×B⃗)=0\sum \vec{F} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = 0 \Rightarrow q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0

Despejando el vector campo eléctrico E⃗\vec{E}:

E⃗=−(v⃗×B⃗)\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})

Primero calculamos el módulo del campo magnético BB en el punto PP (r=0,1 mr = 0,1 \text{ m}):

B=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1⋅5 A2π⋅0,1 m=10−5 TB = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 5 \text{ A}}{2\pi \cdot 0,1 \text{ m}} = 10^{-5} \text{ T}

Sustituimos los valores vectoriales para hallar E⃗\vec{E}:

E⃗=−(2⋅106i⃗ m⋅s−1×10−5k⃗ T)=−(2⋅106⋅10−5)(i⃗×k⃗)=−20(−j⃗) V⋅m−1\vec{E} = - (2 \cdot 10^{6} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \times 10^{-5} \vec{k} \text{ T}) = - (2 \cdot 10^{6} \cdot 10^{-5} ) (\vec{i} \times \vec{k}) = - 20 (-\vec{j}) \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}
E⃗=20j⃗ V⋅m−1\vec{E} = 20 \vec{j} \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}

El campo eléctrico necesario debe tener un módulo de 20 V⋅m−120 \text{ V} \cdot \text{m}^{-1} y estar dirigido en el sentido positivo del eje YY para contrarrestar la fuerza magnética que empuja al protón hacia abajo.