T1: Interacción gravitatoria

Gravedad y velocidad de escape

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

A2-b

b) La masa del planeta Saturno es

95

veces la de la Tierra y su diámetro

8

veces mayor que el terrestre. Determine: i) el valor de la gravedad en la superficie de Saturno; ii) la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de Saturno.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ ; $g_{\text{Tierra}} = 9,8 \text{ m/s}^2$ ; $M_{\text{Saturno}} = 5,69 \cdot 10^{26} \text{ kg}$

GravedadVelocidad de escape

b) i) Para determinar el valor de la gravedad en la superficie de Saturno, utilizamos la expresión general de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

g = G \frac{M}{R^2}

Sabiendo que la masa de Saturno es $M_S = 95 M_T$ y su radio es $R_S = 8 R_T$ (dado que el diámetro es 8 veces mayor), podemos establecer la relación con la gravedad terrestre ( $g_T$ ):

g_S = G \frac{M_S}{R_S^2} = G \frac{95 M_T}{(8 R_T)^2} = \frac{95}{64} \left( G \frac{M_T}{R_T^2} \right) = \frac{95}{64} g_T

Sustituyendo el valor de la gravedad en la Tierra $g_T = 9,8 \text{ m/s}^2$ :

g_S = \frac{95}{64} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 \approx 14,55 \text{ m/s}^2

ii) La velocidad de escape (

v_e

) es la velocidad necesaria para que un cuerpo de masa

m

salga del pozo de potencial gravitatorio, alcanzando el infinito con velocidad nula. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica (

E_{m, \text{superficie}} = E_{m, \infty} = 0

\frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M_S m}{R_S} = 0 \implies v_e = \sqrt{\frac{2 G M_S}{R_S}}

Para obtener el radio de Saturno $R_S$ , calculamos primero el radio de la Tierra $R_T$ usando la masa terrestre derivada del dato de Saturno ( $M_T = M_S / 95$ ):

M_T = \frac{5,69 \cdot 10^{26} \text{ kg}}{95} = 5,989 \cdot 10^{24} \text{ kg}

R_T = \sqrt{\frac{G M_T}{g_T}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,989 \cdot 10^{24}}{9,8}} \approx 6,38 \cdot 10^6 \text{ m}

Por tanto, el radio de Saturno es $R_S = 8 \cdot 6,38 \cdot 10^6 \text{ m} = 5,11 \cdot 10^7 \text{ m}$ . Calculamos la velocidad de escape final:

v_{e,S} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,69 \cdot 10^{26}}{5,11 \cdot 10^7}} \approx 38535 \text{ m/s} \approx 38,54 \text{ km/s}