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T2: Interacción electromagnética
Campo eléctrico y potencial
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
B-b2
Examen
b2) Una carga q1=2⋅10−9 Cq_1 = 2 \cdot 10^{-9} \text{ C} está fija en el origen de coordenadas y otra carga q2=−4⋅10−9 Cq_2 = -4 \cdot 10^{-9} \text{ C} se encuentra fija en el punto A(2,0) mA(2,0) \text{ m}. i) Determine y dibuje el campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto B(4,0) mB(4,0) \text{ m}. ii) Calcule el trabajo que las fuerzas del campo realizan para trasladar una tercera carga q3=1⋅10−9 Cq_3 = 1 \cdot 10^{-9} \text{ C}, desde BB hasta un punto C(0,4) mC(0,4) \text{ m}. Interprete el signo del trabajo.

Dato: K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}

Cargas puntualesCampo eléctricoTrabajo eléctrico
i) Determine y dibuje el campo eléctrico, debido a ambas cargas, en el punto B(4,0) mB(4,0) \text{ m}.

El campo eléctrico resultante en el punto BB es la suma vectorial de los campos individuales generados por cada una de las cargas fijas, aplicando el principio de superposición:

E⃗B=E⃗1+E⃗2=Kq1r1B2u⃗1B+Kq2r2B2u⃗2B\vec{E}_B = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = K \frac{q_1}{r_{1B}^2} \vec{u}_{1B} + K \frac{q_2}{r_{2B}^2} \vec{u}_{2B}

Determinamos las distancias y los vectores unitarios desde las cargas q1q_1 en (0,0)(0,0) y q2q_2 en (2,0)(2,0) hasta el punto de estudio B(4,0)B(4,0):

r1B=4−0=4 m,u⃗1B=i⃗r_{1B} = 4 - 0 = 4 \text{ m}, \quad \vec{u}_{1B} = \vec{i}
r2B=4−2=2 m,u⃗2B=i⃗r_{2B} = 4 - 2 = 2 \text{ m}, \quad \vec{u}_{2B} = \vec{i}

Sustituimos los valores numéricos para hallar los vectores de campo individuales:

E⃗1=9⋅1092⋅10−942i⃗=1.125i⃗ N⋅C−1\vec{E}_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-9}}{4^2} \vec{i} = 1.125 \vec{i} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗2=9⋅109−4⋅10−922i⃗=−9i⃗ N⋅C−1\vec{E}_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{2^2} \vec{i} = -9 \vec{i} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

El campo eléctrico total en BB es:

E⃗B=(1.125−9)i⃗=−7.875i⃗ N⋅C−1\vec{E}_B = (1.125 - 9) \vec{i} = -7.875 \vec{i} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
XY+q1-q2BE1E2
ii) Calcule el trabajo que las fuerzas del campo realizan para trasladar una tercera carga q3=1⋅10−9 Cq_3 = 1 \cdot 10^{-9} \text{ C}, desde BB hasta un punto C(0,4) mC(0,4) \text{ m}. Interprete el signo del trabajo.

El trabajo realizado por el campo eléctrico se calcula mediante la diferencia de potencial entre el punto inicial y el final:

WB→C=−ΔEp=q3(VB−VC)W_{B \to C} = -\Delta E_p = q_3 (V_B - V_C)

Calculamos el potencial eléctrico en el punto B(4,0)B(4,0) debido a q1q_1 y q2q_2:

VB=K(q1r1B+q2r2B)=9⋅109(2⋅10−94+−4⋅10−92)=9(0.5−2)=−13.5 VV_B = K \left( \frac{q_1}{r_{1B}} + \frac{q_2}{r_{2B}} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9}}{4} + \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{2} \right) = 9(0.5 - 2) = -13.5 \text{ V}

Calculamos el potencial eléctrico en el punto C(0,4)C(0,4). Las distancias son r1C=4 mr_{1C} = 4 \text{ m} y la distancia desde q2(2,0)q_2(2,0) es:

r2C=(0−2)2+(4−0)2=4+16=20 mr_{2C} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \text{ m}
VC=9⋅109(2⋅10−94+−4⋅10−920)=4.5−3620≈−3.55 VV_C = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9}}{4} + \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}} \right) = 4.5 - \frac{36}{\sqrt{20}} \approx -3.55 \text{ V}

Calculamos el trabajo total realizado por el campo:

WB→C=1⋅10−9⋅(−13.5−(−3.55))=−9.95⋅10−9 JW_{B \to C} = 1 \cdot 10^{-9} \cdot (-13.5 - (-3.55)) = -9.95 \cdot 10^{-9} \text{ J}

Interpretación: Dado que el trabajo realizado por el campo es negativo (W<0W < 0), las fuerzas electrostáticas se oponen al movimiento de la carga. Esto indica que el proceso no es espontáneo y se requiere el aporte de energía externa (trabajo de un agente exterior) para trasladar la carga q3q_3 desde BB hasta CC.