T4: Funciones · Funciones a trozos y optimización — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

T4: Funciones

Funciones a trozos y optimización

Análisis

2025 · Ordinaria

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La función que aproxima la cantidad de glucosa en sangre (mg/dl) del paciente, en cada instante t (horas), es:

f(t) = \begin{cases} \frac{5}{6} \left( \frac{t^3}{3} - 12t^2 + 108t + 108 \right) & 0 \le t \le 12 \\ t^2 - 40t + 546 & 12 < t \le 24 \end{cases}

a) Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando. b) ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden? c) ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene 155 mg/dl?

Funciones a trozosOptimizaciónCrecimiento y decrecimiento+1

Para determinar los periodos en los que el nivel de glucosa aumenta, debemos estudiar el signo de la primera derivada de la función f(t) en cada uno de sus tramos.

f'(t) = \begin{cases} \frac{5}{6} (t^2 - 24t + 108) & 0 < t < 12 \\ 2t - 40 & 12 < t < 24 \end{cases}

Analizamos el primer tramo (0 a 12 horas). Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

t^2 - 24t + 108 = 0 \implies t = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2} \implies t_1 = 6, \, t_2 = 18

Como solo el valor t = 6 pertenece al intervalo [0, 12], evaluamos el signo de la derivada antes y después de este punto. Para t < 6 la derivada es positiva y para t > 6 es negativa. Por tanto, la glucosa aumenta en el intervalo (0, 6).Analizamos el segundo tramo (12 a 24 horas). Igualamos la derivada a cero:

2t - 40 = 0 \implies t = 20

Para t < 20 la derivada es negativa y para t > 20 es positiva. Por tanto, la glucosa aumenta en el intervalo (20, 24). En resumen, los periodos de aumento son:

t \in (0, 6) \cup (20, 24)

Para encontrar los niveles máximo y mínimo absoluto, evaluamos la función en los puntos críticos hallados (t = 6, t = 20), en los extremos del dominio (t = 0, t = 24) y comprobamos la continuidad en t = 12.

f(0) = \frac{5}{6}(108) = 90 \, \text{mg/dl}

f(6) = \frac{5}{6} \left( \frac{6^3}{3} - 12(6^2) + 108(6) + 108 \right) = \frac{5}{6}(72 - 432 + 648 + 108) = 330 \, \text{mg/dl}

f(12) = \frac{5}{6} \left( \frac{12^3}{3} - 12(12^2) + 108(12) + 108 \right) = 210 \, \text{mg/dl}

f(20) = 20^2 - 40(20) + 546 = 400 - 800 + 546 = 146 \, \text{mg/dl}

f(24) = 24^2 - 40(24) + 546 = 576 - 960 + 546 = 162 \, \text{mg/dl}

Comparando los valores, el paciente alcanza el nivel máximo a las 6:00 h con 330 mg/dl y el nivel mínimo a las 0:00 h con 90 mg/dl.Para el apartado c, buscamos cuándo el nivel es de 155 mg/dl en el periodo posterior al mediodía (t > 12), usando la segunda expresión de la función:

t^2 - 40t + 546 = 155 \implies t^2 - 40t + 391 = 0

t = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4(1)(391)}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1564}}{2} = \frac{40 \pm 6}{2}

Obtenemos dos valores: t = 17 y t = 23. Ambos están dentro del intervalo permitido (12, 24]. Por tanto, el paciente tiene 155 mg/dl a las 17:00 h y a las 23:00 h.En conclusión: a) Los niveles aumentan de 0:00 a 6:00 y de 20:00 a 24:00. b) El nivel máximo es 330 \text{ mg/dl} a las 06:00 y el mínimo es 90 \text{ mg/dl} a las 00:00. c) Los momentos son las 17:00 y las 23:00.