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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2025 · Extraordinaria · Reserva
D-b2
Examen

Un electrón, inicialmente en reposo, es acelerado al aplicar una diferencia de potencial de 4 kV4 \text{ kV}.

i) Calcule razonadamente su energía cinética, su momento lineal y su longitud de onda de De Broglie.ii) Posteriormente se aceleran protones, inicialmente en reposo, utilizando la misma diferencia de potencial. Determine la longitud de onda asociada a los protones.

Datos: h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; mp=1,7⋅10−27 kgm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Longitud de onda de De BrogliePotencial de aceleraciónProtón y electrón
i) Calcule razonadamente su energía cinética, su momento lineal y su longitud de onda de De Broglie.

Al acelerar una carga eléctrica qq inicialmente en reposo mediante una diferencia de potencial VV, el trabajo realizado por el campo eléctrico se transforma íntegramente en energía cinética EcE_c, de acuerdo con el principio de conservación de la energía:

W=q⋅V=ΔEc=Ec−0W = q \cdot V = \Delta E_c = E_c - 0
Ec=1,6⋅10−19 C⋅4000 V=6,4⋅10−16 JE_c = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 4000 \text{ V} = 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}

El momento lineal pp está relacionado con la energía cinética mediante la expresión Ec=p22mE_c = \frac{p^2}{2m}. Despejando el momento lineal para el electrón:

p=2⋅me⋅Ecp = \sqrt{2 \cdot m_e \cdot E_c}
p=2⋅9,1⋅10−31 kg⋅6,4⋅10−16 J=3,41⋅10−23 kg⋅m⋅s−1p = \sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}} = 3,41 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}

La longitud de onda de De Broglie λ\lambda se define como el cociente entre la constante de Planck hh y el momento lineal pp de la partícula:

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}
λ=6,63⋅10−34 J⋅s3,41⋅10−23 kg⋅m⋅s−1=1,94⋅10−11 m\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{3,41 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}} = 1,94 \cdot 10^{-11} \text{ m}
0 V 4 kV e- Fe v
ii) Posteriormente se aceleran protones, inicialmente en reposo, utilizando la misma diferencia de potencial. Determine la longitud de onda asociada a los protones.

Puesto que el protón tiene la misma carga en valor absoluto que el electrón (ee), al ser acelerado por la misma diferencia de potencial, adquirirá la misma energía cinética Ec,p=6,4⋅10−16 JE_{c,p} = 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}. Su longitud de onda será:

λp=h2⋅mp⋅Ec,p\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_p \cdot E_{c,p}}}
λp=6,63⋅10−34 J⋅s2⋅1,7⋅10−27 kg⋅6,4⋅10−16 J\lambda_p = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{\sqrt{2 \cdot 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}}}
λp=6,63⋅10−341,475⋅10−21=4,49⋅10−13 m\lambda_p = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{1,475 \cdot 10^{-21}} = 4,49 \cdot 10^{-13} \text{ m}