T4: Sistemas automáticos · Control de lazo cerrado — TECNOLOGIA INDUSTRIAL II PEvAU Andalucía 2025

T4: Sistemas automáticos

Control de lazo cerrado

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

a) Dado el circuito digital de la figura de la izquierda, obtener otro que realice la misma función con puertas de dos entradas. b) El sistema de control de lazo cerrado de la figura de la derecha tiene un regulador con ganancia G1 y una planta con ganancia G2 = 50. Determinar el valor de G1 para que el error E sea inferior a 0,1 cuando la entrada X es igual a 1.

Puertas lógicasError en estado estacionarioLazo cerrado

RESOLUCIÓN DE EJERCICIO

a) Dado el circuito digital de la figura de la izquierda, obtener otro que realice la misma función con puertas de dos entradas.

Para obtener el circuito simplificado, primero determinamos la expresión booleana de la salida $S$ analizando las puertas lógicas del diagrama:

S = \overline{\overline{(A + B) \cdot (B \cdot C)} + \overline{B \cdot C}}

Aplicamos las leyes de De Morgan ( $\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$ y $\overline{\overline{X}} = X$ ):

S = \overline{\overline{(A + B) \cdot (B \cdot C)}} \cdot \overline{\overline{B \cdot C}} = [(A + B) \cdot (B \cdot C)] \cdot (B \cdot C)

Simplificamos usando las propiedades del álgebra de Boole ( $X \cdot X = X$ y $X + 1 = 1$ ):

S = (A + B) \cdot (B \cdot C) = A \cdot B \cdot C + B \cdot B \cdot C = ABC + BC = BC(A + 1) = B \cdot C

Construimos la tabla de verdad para verificar el funcionamiento del circuito:

\begin{array}{|c|c|c||c|} \hline A & B & C & S \ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \ \hline \end{array}

Resultado: El circuito equivalente que realiza la misma función con puertas de dos entradas es una única puerta AND de dos entradas con las señales $B$ y $C$ .

b) El sistema de control de lazo cerrado de la figura de la derecha tiene un regulador con ganancia G1 y una planta con ganancia G2 = 50. Determinar el valor de G1 para que el error E sea inferior a 0,1 cuando la entrada X es igual a 1.

Datos:- Entrada: $X = 1$ - Ganancia de la planta: $G_2 = 50$ - Condición del error: $E < 0,1$ Fórmulas:En un sistema de control de lazo cerrado con realimentación unitaria negativa, la señal de error $E$ se define como:

E = X - Y

Dado que la salida es $Y = E \cdot G_1 \cdot G_2$ , sustituimos para hallar la relación del error respecto a la entrada:

E = X - E \cdot G_1 \cdot G_2 \implies E (1 + G_1 \cdot G_2) = X \implies E = \frac{X}{1 + G_1 \cdot G_2}

Sustitución:

\frac{1}{1 + G_1 \cdot 50} < 0,1

Resolvemos la inecuación resultante para despejar $G_1$ :

1 < 0,1 \cdot (1 + 50 \cdot G_1) \implies 1 < 0,1 + 5 \cdot G_1

0,9 < 5 \cdot G_1 \implies G_1 > \frac{0,9}{5}

Resultado:

G_1 > 0,18