T2: Interacción electromagnética

Potencial y trabajo

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

B2-b

b) Dos cargas puntuales de

2 \text{ } \mu \ce{C}

-2 \text{ } \mu \ce{C}

se encuentran situadas en los puntos

A(0,3) \text{ m}

B(0,-3) \text{ m}

, respectivamente. i) Represente gráficamente y calcule la intensidad del campo eléctrico en el punto

P(4,0) \text{ m}

. ii) Calcule el potencial en el origen de coordenadas y en el punto

P

. iii) Determine el trabajo que realizan las fuerzas electrostáticas cuando un electrón se desplaza desde el origen de coordenadas hasta el punto

P

Datos: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \ce{C}; K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \ce{C}^{-2}$

campo eléctricopotencial eléctricotrabajo electrostático

i) Representación gráfica y cálculo de la intensidad del campo eléctrico en el punto

P(4,0) \text{ m}

Determinamos las distancias desde cada carga al punto $P(4,0)$ . Por la geometría del problema, ambas cargas se encuentran a la misma distancia $r$ del punto:

r_1 = r_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ m}

Calculamos los vectores unitarios desde las cargas hacia el punto $P$ para expresar el campo vectorialmente:

\vec{u}_1 = \frac{4\vec{i} - 3\vec{j}}{5} = 0,8\vec{i} - 0,6\vec{j}

\vec{u}_2 = \frac{4\vec{i} + 3\vec{j}}{5} = 0,8\vec{i} + 0,6\vec{j}

Aplicamos el principio de superposición para el campo eléctrico total $\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ :

\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_1^2} \vec{u}_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{5^2} (0,8\vec{i} - 0,6\vec{j}) = 576\vec{i} - 432\vec{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_2^2} \vec{u}_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{5^2} (0,8\vec{i} + 0,6\vec{j}) = -576\vec{i} - 432\vec{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

\vec{E}_P = (576 - 576)\vec{i} + (-432 - 432)\vec{j} = -864\vec{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

ii) Cálculo del potencial en el origen de coordenadas

O(0,0)

y en el punto

P(4,0)

El potencial eléctrico es una magnitud escalar definida como $V = \sum K \frac{q_i}{r_i}$ . Para el origen $O$ , las distancias son $r_{1O} = 3 \text{ m}$ y $r_{2O} = 3 \text{ m}$ :

V_O = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-6}}{3} + \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{3} \right) = 0 \text{ V}

Para el punto $P(4,0)$ , las distancias calculadas anteriormente son $r_1 = 5 \text{ m}$ y $r_2 = 5 \text{ m}$ :

V_P = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-6}}{5} + \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{5} \right) = 0 \text{ V}

iii) Determinación del trabajo realizado por las fuerzas electrostáticas al desplazar un electrón desde el origen

O

hasta

P

El trabajo realizado por el campo eléctrico se define como el producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y el punto final: $W_{O \to P} = - \Delta E_p = q(V_O - V_P)$ .

W_{O \to P} = q_e (V_O - V_P) = (-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (0 \text{ V} - 0 \text{ V}) = 0 \text{ J}

Dado que ambos puntos se encuentran al mismo potencial (están en la misma superficie equipotencial de valor $0 \text{ V}$ ), el trabajo neto realizado por las fuerzas electrostáticas es nulo.