T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

A-b1

Un bloque de $3,5 \text{ kg}$ desciende, partiendo del reposo, por una rampa rugosa que forma un ángulo de $37^{\circ}$ con la horizontal desde una altura de $4 \text{ m}$ . Cuando llega al final del plano inclinado, recorre $10 \text{ m}$ sobre una superficie horizontal, con igual coeficiente de rozamiento, hasta que se para. Calcule mediante razonamientos energéticos:

i) el coeficiente de rozamiento entre el bloque y las superficies;ii) la velocidad del bloque cuando llega al final del plano inclinado.

Dato: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

Energía mecánicaFuerza de rozamientoPlano inclinado

i) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y las superficies.

Para resolver el problema mediante razonamientos energéticos, empleamos el principio de conservación de la energía mecánica considerando el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (rozamiento). El trabajo total realizado por el rozamiento ( $W_{fr}$ ) es igual a la variación de la energía mecánica ( $\Delta E_m$ ) entre el punto inicial en la cima del plano ( $A$ ) y el punto final donde el bloque se detiene ( $C$ ):

W_{fr, ext{total}} = \Delta E_m = E_{m,C} - E_{m,A}

En el punto $A$ , el bloque está en reposo ( $v_A = 0$ ) a una altura $h = 4 \text{ m}$ . En el punto $C$ , el bloque vuelve a estar en reposo ( $v_C = 0$ ) a nivel del suelo ( $h_C = 0$ ). Por tanto:

E_{m,A} = mgh; \quad E_{m,C} = 0 \implies W_{fr, ext{total}} = -mgh

El trabajo de rozamiento se divide en dos tramos: el plano inclinado de longitud $d_1 = h / \sin(37^\circ)$ y el tramo horizontal de longitud $d_2 = 10 \text{ m}$ . La fuerza de rozamiento en el plano es $f_{r1} = \mu mg \cos(37^\circ)$ y en el plano horizontal es $f_{r2} = \mu mg$ .

W_{fr1} = -f_{r1} \cdot d_1 = -\mu mg \cos(37^\circ) \cdot \frac{h}{\sin(37^\circ)} = -\mu mgh \cot(37^\circ)

W_{fr2} = -f_{r2} \cdot d_2 = -\mu mg d_2

Igualamos el trabajo total a la variación de energía y despejamos el coeficiente de rozamiento $\mu$ :

-mgh = -\mu mg (h \cot(37^\circ) + d_2) \implies \mu = \frac{h}{h \cot(37^\circ) + d_2}

\mu = \frac{4}{4 \cdot 1,327 + 10} = \frac{4}{5,308 + 10} = \frac{4}{15,308} \approx 0,261

ii) La velocidad del bloque cuando llega al final del plano inclinado.

Para hallar la velocidad al final del plano ( $v_B$ ), analizamos el balance energético en el tramo horizontal, desde que entra en él con velocidad $v_B$ hasta que se detiene por efecto del rozamiento en $C$ :

E_{m,C} - E_{m,B} = W_{fr2}

0 - \frac{1}{2}mv_B^2 = -\mu mg d_2

Despejamos la velocidad $v_B$ y sustituimos los valores conocidos:

v_B = \sqrt{2 \mu g d_2}

v_B = \sqrt{2 \cdot 0,261 \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 \cdot 10 \text{ m}} = \sqrt{51,156} \approx 7,15 \text{ m/s}