T3: Vibraciones y ondas

Ondas electromagnéticas

Teoría

2023 · Ordinaria · Titular

C2-a

a) Un rayo de luz monocromática duplica su velocidad al pasar de un medio a otro. i) Represente la trayectoria de un rayo que incide con un ángulo no nulo respecto a la normal, y justifique si puede producirse el fenómeno de la reflexión total. ii) Determine razonadamente la relación entre las longitudes de onda en ambos medios.

Reflexión totalRefracciónLongitud de onda

a) i) Represente la trayectoria de un rayo que incide con un ángulo no nulo respecto a la normal, y justifique si puede producirse el fenómeno de la reflexión total.

El índice de refracción $n$ de un medio se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío $c$ y la velocidad de la luz en dicho medio $v$ :

n = \frac{c}{v}

Si en el segundo medio la velocidad se duplica, tenemos que $v_2 = 2v_1$ . Por tanto, la relación entre los índices de refracción es:

n_2 = \frac{c}{v_2} = \frac{c}{2v_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{c}{v_1} \right) = \frac{n_1}{2}

Dado que $n_2 < n_1$ , el rayo pasa de un medio más refringente a uno menos refringente. Aplicando la ley de Snell:

n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \implies \sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta_1 = 2 \sin \theta_1

Al ser $\sin \theta_2 > \sin \theta_1$ , el rayo refractado se aleja de la normal (el ángulo de refracción es mayor que el de incidencia). La reflexión total es el fenómeno que ocurre cuando el ángulo de incidencia supera un valor crítico $\theta_c$ , haciendo que no exista rayo refractado. Para que esto ocurra, la luz debe viajar hacia un medio con menor índice de refracción ( $n_1 > n_2$ ), condición que se cumple en este ejercicio. El ángulo crítico se calcula para $\theta_2 = 90^\circ$ :

\sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{2} \implies \theta_c = \arcsin(0,5) = 30^\circ

Por tanto, sí puede producirse reflexión total siempre que el ángulo de incidencia sea $\theta_1 > 30^\circ$ .

a) ii) Determine razonadamente la relación entre las longitudes de onda en ambos medios.

Cuando una onda electromagnética cambia de medio, su frecuencia $f$ permanece constante, ya que depende únicamente del foco emisor. La velocidad de propagación $v$ se relaciona con la longitud de onda $\lambda$ y la frecuencia mediante la expresión:

v = \lambda \cdot f

Escribiendo la relación para ambos medios:

v_1 = \lambda_1 \cdot f \quad ; \quad v_2 = \lambda_2 \cdot f

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos la relación directa entre velocidades y longitudes de onda:

\frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}

Sustituyendo el dato del enunciado ( $v_2 = 2v_1$ ):

2 = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \implies \lambda_2 = 2 \cdot \lambda_1

La longitud de onda en el segundo medio es el doble que en el primero.