T2: Interacción electromagnética

Campo magnético

Teoría

2025 · Ordinaria · Titular

B-a

Dos partículas cargadas se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme con la misma velocidad. i) Deduzca la expresión del radio de la trayectoria de una de ellas. ii) Si la masa de la primera es veinte veces mayor y su carga es la mitad de la segunda, encuentre la razón entre los periodos de sus movimientos. Razone sus respuestas.

Fuerza de LorentzRadio de curvaturaPeriodo

i) Cuando una partícula con carga q se mueve con una velocidad v a través de un campo magnético uniforme B, experimenta una fuerza magnética descrita por la ley de Lorentz:

\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})

Dado que el enunciado indica que la velocidad es perpendicular al campo magnético, el módulo de esta fuerza es constante y máximo. Al ser la fuerza perpendicular al vector velocidad en todo momento, esta actúa como una fuerza centrípeta, obligando a la partícula a describir una trayectoria circular de radio R. Según la segunda ley de Newton:

F_m = F_c \Rightarrow |q| v B \sin(90^\circ) = m \frac{v^2}{R}

Como el seno de 90 grados es la unidad, simplificamos la expresión para despejar el radio de la trayectoria:

|q| v B = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow R = \frac{m v}{|q| B}

ii) El periodo T se define como el tiempo necesario para completar una revolución completa. En un movimiento circular uniforme, la relación entre la velocidad, el radio y el periodo es:

v = \frac{2 \pi R}{T} \Rightarrow T = \frac{2 \pi R}{v}

Sustituyendo la expresión obtenida para el radio R en la ecuación del periodo, obtenemos la dependencia de este con la masa y la carga:

T = \frac{2 \pi}{v} \left( \frac{m v}{|q| B} \right) = \frac{2 \pi m}{|q| B}

Para encontrar la razón entre los periodos de las dos partículas, establecemos la relación dada entre sus masas y cargas: m_1 = 20 m_2 y q_1 = 0.5 q_2. Calculamos el cociente T_1 / T_2:

\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2 \pi m_1}{|q_1| B}}{\frac{2 \pi m_2}{|q_2| B}} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{|q_2|}{|q_1|}

Sustituyendo las equivalencias de la primera partícula respecto a la segunda:

\frac{T_1}{T_2} = \frac{20 m_2}{m_2} \cdot \frac{q_2}{0.5 q_2} = 20 \cdot 2 = 40

La razón entre los periodos es de 40, lo que significa que la primera partícula tarda 40 veces más en completar una vuelta que la segunda.

\mathbf{\frac{T_1}{T_2} = 40}