T5: Física moderna · Dualidad onda-corpúsculo — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2024 · Ordinaria · Suplente

D2-a

Dos partículas de masas $m$ y $4m$ tienen asociadas longitudes de onda de De Broglie $2\lambda$ y $\lambda$ , respectivamente. Deduzca razonadamente la relación entre sus energías cinéticas.

Hipótesis de De BroglieEnergía cinéticaLongitud de onda

Según la hipótesis de De Broglie, toda partícula con un momento lineal $p$ tiene asociada una longitud de onda $\lambda$ dada por la expresión:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Donde $h$ es la constante de Planck. La energía cinética de una partícula no relativista se define como $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ , que se puede expresar en función del momento lineal como:

E_k = \frac{p^2}{2m}

Despejando el momento lineal de la relación de De Broglie, $p = h/\lambda$ , y sustituyéndolo en la fórmula de la energía cinética, obtenemos la relación directa entre $E_k$ y $\lambda$ :

E_k = \frac{h^2}{2m\lambda^2}

Aplicamos esta expresión a las dos partículas descritas en el enunciado para obtener sus respectivas energías cinéticas:Para la primera partícula, con masa $m_1 = m$ y longitud de onda $\lambda_1 = 2\lambda$ :

E_{k1} = \frac{h^2}{2m(2\lambda)^2} = \frac{h^2}{8m\lambda^2}

Para la segunda partícula, con masa $m_2 = 4m$ y longitud de onda $\lambda_2 = \lambda$ :

E_{k2} = \frac{h^2}{2(4m)\lambda^2} = \frac{h^2}{8m\lambda^2}

Finalmente, calculamos la relación entre ambas energías cinéticas dividiendo sus expresiones:

\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{\frac{h^2}{8m\lambda^2}}{\frac{h^2}{8m\lambda^2}} = 1

Deducimos, por tanto, que ambas partículas poseen la misma energía cinética, existiendo una relación de igualdad entre ellas: $E_{k1} = E_{k2}$ .