T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

B1-b

b) Una espira circular de

20 \text{ cm}

de radio está situada en el plano

XY

en una región en la que hay un campo magnético variable en el tiempo

B(t) = 3 \cdot t^2 - 2 \cdot t

(S.I.) en sentido negativo del eje

OZ

. i) Obtenga la expresión del flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcule la fuerza electromotriz inducida para

t = 2 \text{ s}

. iii) Razone el sentido de la corriente inducida en la espira.

Ley de LenzFlujo magnéticoFuerza electromotriz

Para una espira circular de radio $R = 20 ext{ cm} = 0,2 ext{ m}$ , el área de la superficie es $S = \pi R^2 = 0,04\pi ext{ m}^2$ . El campo magnético se encuentra en el sentido negativo del eje $OZ$ , por lo que su expresión vectorial es $\vec{B}(t) = -(3t^2 - 2t)\vec{k} ext{ T}$ .

i) Obtenga la expresión del flujo magnético en función del tiempo.

El flujo magnético $\Phi$ se define como el producto escalar del vector campo magnético y el vector superficie $\vec{S}$ . Tomando el vector superficie en la dirección positiva del eje $OZ$ ( $\vec{S} = S \vec{k}$ ):

\Phi(t) = \vec{B} \cdot \vec{S} = [-(3t^2 - 2t) \vec{k}] \cdot [0,04\pi \vec{k}] = -0,04\pi (3t^2 - 2t)

\Phi(t) = (0,08t - 0,12t^2)\pi \text{ Wb}

ii) Calcule la fuerza electromotriz inducida para

t = 2 \text{ s}

Aplicamos la ley de Faraday-Lenz, que establece que la fuerza electromotriz ( $\varepsilon$ ) inducida es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

\varepsilon = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{d}{dt} [(0,08t - 0,12t^2)\pi] = -(0,08\pi - 0,24\pi t) = (0,24t - 0,08)\pi \text{ V}

Sustituimos el valor de $t = 2 \text{ s}$ en la expresión anterior:

\varepsilon(2) = (0,24 \cdot 2 - 0,08)\pi = 0,4\pi \approx 1,26 \text{ V}

iii) Razone el sentido de la corriente inducida en la espira.

En el instante $t = 2 \text{ s}$ , el módulo del campo magnético es $B(2) = 3(2)^2 - 2(2) = 8 \text{ T}$ en sentido $-Z$ . Como la derivada del módulo es $\frac{dB}{dt} = 6t - 2$ , en $t = 2 \text{ s}$ el valor es $10 \text{ T} \cdot \text{s}^{-1} > 0$ , lo que indica que el flujo en el sentido negativo del eje $OZ$ está aumentando. Según la ley de Lenz, la corriente inducida creará un campo magnético inducido que se oponga a este incremento, por lo que dicho campo debe apuntar en el sentido positivo del eje $OZ$ ( $+Z$ ). Aplicando la regla de la mano derecha, para que el campo sea saliente ( $+Z$ ), la corriente debe circular en sentido antihorario en el plano $XY$ .