T1: Interacción gravitatoria

Dinámica y energía

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

A1-b

b) Un cuerpo de masa

2 \text{ kg}

desciende por un plano con rozamiento inclinado

30^{\circ}

respecto a la horizontal, con una velocidad inicial de

2 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. i) Realice un esquema de las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando desliza por el plano. ii) Calcule, usando consideraciones energéticas, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo ha recorrido

1,5 \text{ m}

sobre el plano, sabiendo que su velocidad en ese momento es de

4 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Dato: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

plano inclinadorozamientoconservación de la energía

i) Esquema de las fuerzas que actúan sobre el bloque de masa

m

mientras desciende por el plano inclinado con rozamiento:

Las fuerzas que actúan son el peso $\vec{P}$ (que se descompone en $P_x = m \cdot g \cdot \sin \theta$ y $P_y = m \cdot g \cdot \cos \theta$ ), la fuerza normal $\vec{N}$ ejercida por la superficie y la fuerza de rozamiento $\vec{f_r}$ que se opone al movimiento.

ii) Para calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (

W_{f_r}

), utilizamos el teorema del trabajo y la energía mecánica para fuerzas no conservativas, que establece que el trabajo de dichas fuerzas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema:

W_{nc} = \Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i}

Expresando la energía mecánica como la suma de la energía cinética ( $E_c$ ) y la energía potencial gravitatoria ( $E_p$ ):

W_{f_r} = (E_{c,f} + E_{p,f}) - (E_{c,i} + E_{p,i})

Situamos el origen de energía potencial en el punto final del recorrido ( $h_f = 0 \text{ m}$ ). Por tanto, la altura inicial ( $h_i$ ) se calcula en función de la distancia recorrida sobre el plano ( $d = 1,5 \text{ m}$ ):

h_i = d \cdot \sin(30^\circ) = 1,5 \text{ m} \cdot 0,5 = 0,75 \text{ m}

Calculamos la variación de energía cinética $\Delta E_c$ :

\Delta E_c = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ kg} \cdot ((4 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 - (2 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2) = 12 \text{ J}

Calculamos la variación de energía potencial $\Delta E_p$ :

\Delta E_p = m \cdot g \cdot (h_f - h_i) = 2 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot (0 \text{ m} - 0,75 \text{ m}) = -14,7 \text{ J}

Finalmente, sumamos ambas variaciones para obtener el trabajo de la fuerza de rozamiento:

W_{f_r} = 12 \text{ J} + (-14,7 \text{ J}) = -2,7 \text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es de $-2,7 \text{ J}$ . El signo negativo indica que es un trabajo disipativo, ya que la fuerza se opone al desplazamiento.