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T3: Vibraciones y ondas
Ondas estacionarias
Teoría
2024 · Extraordinaria · Reserva
C2-a
Examen
a) i) Escriba la ecuación general de una onda estacionaria y explique el significado físico de cada una de las magnitudes involucradas, junto con sus unidades en el Sistema Internacional. ii) ¿Qué son los vientres y nodos de una onda estacionaria?
Ondas estacionariasNodosVientres
a) i) La ecuación de una onda estacionaria se origina por la superposición de dos ondas armónicas de iguales características (amplitud y frecuencia) que se propagan en la misma dirección y sentidos opuestos. Su expresión general es:
y(x,t)=A(x)cos(ωt)=2Asin(kx)cos(ωt)y(x, t) = A(x) \cos(\omega t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)

Las magnitudes involucradas en esta expresión y sus unidades en el Sistema Internacional (S.I.) son las siguientes:y(x,t)y(x, t): Elongación o desplazamiento del punto situado en la posición xx en el instante tt. Se mide en metros (extm ext{m}).AA: Amplitud de las ondas individuales que interfieren. La amplitud máxima de la onda estacionaria es 2A2A. Se mide en metros (extm ext{m}).kk: Número de onda, relacionado con la longitud de onda λ\lambda mediante k = rac{2\pi}{\lambda}. Se mide en radianes por metro (extradextm1 ext{rad} \cdot ext{m}^{-1}).ω\omega: Frecuencia angular o pulsación, relacionada con el periodo TT mediante \omega = rac{2\pi}{T}. Se mide en radianes por segundo (extradexts1 ext{rad} \cdot ext{s}^{-1}).xx: Distancia del punto al origen de coordenadas, medida en metros (extm ext{m}).tt: Tiempo transcurrido, medido en segundos (exts ext{s}).

a) ii) En una onda estacionaria, los puntos del medio no oscilan con la misma amplitud, dando lugar a los siguientes conceptos:

Nodos: Son los puntos del medio donde la amplitud de oscilación es permanentemente nula (A(x)=0A(x) = 0). Esto ocurre cuando sin(kx)=0\sin(kx) = 0, lo que implica que la distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda (λ/2\lambda/2).

x_{nodo} = n rac{\lambda}{2} \quad ext{con } n = 0, 1, 2, \dots

Vientres (o antinodos): Son los puntos del medio donde la amplitud de oscilación es máxima (Amax=2AA_{max} = 2A). Esto ocurre cuando sin(kx)=1|\sin(kx)| = 1. Se sitúan en el punto medio entre dos nodos consecutivos.

x_{vientre} = (2n + 1) rac{\lambda}{4} \quad ext{con } n = 0, 1, 2, \dots