T1: Interacción gravitatoria

Energía potencial y trabajo

Teoría

2025 · Ordinaria · Reserva

A-a

a) Se deja caer un objeto de masa

m

desde una altura

h

sobre la superficie de la Tierra y llega al suelo sin que actúe ninguna fuerza de rozamiento. Considerando que la altura es mucho menor que el radio terrestre, y mediante razonamientos energéticos, calcule: i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto; ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Campo gravitatorioTrabajoEnergía+1

a) Se deja caer un objeto de masa

m

desde una altura

h

sobre la superficie de la Tierra y llega al suelo sin que actúe ninguna fuerza de rozamiento. Considerando que la altura es mucho menor que el radio terrestre (

h \ll R_T

), y mediante razonamientos energéticos, calcule: i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto; ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Dado que la altura $h$ es mucho menor que el radio de la Tierra, podemos considerar que el campo gravitatorio es uniforme en la proximidad de la superficie. En estas condiciones, la aceleración de la gravedad $g$ es constante y la fuerza peso se define como $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ .

i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto;

El trabajo $W$ realizado por una fuerza constante se calcula como el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento $\Delta \vec{r}$ . En una caída libre vertical, el peso $\vec{P}$ y el desplazamiento tienen la misma dirección y el mismo sentido, por lo que el ángulo entre ambos es $0^\circ$ .

W_P = \vec{P} \cdot \Delta\vec{r} = P \cdot \Delta r \cdot \cos(0^\circ)

W_P = m \cdot g \cdot h

También se puede obtener a partir de la relación entre el trabajo de una fuerza conservativa y la energía potencial gravitatoria ( $E_p = m \cdot g \cdot h$ ):

W_P = -\Delta E_p = -(E_{p,final} - E_{p,inicial}) = -(0 - m \cdot g \cdot h) = m \cdot g \cdot h

ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Al no existir fuerzas no conservativas como el rozamiento, la energía mecánica del sistema se conserva durante todo el trayecto. Por tanto, la energía mecánica en el punto inicial (altura $h$ ) es igual a la energía mecánica en el punto final (suelo).

E_{m,inicial} = E_{m,final}

E_{c,i} + E_{p,i} = E_{c,f} + E_{p,f}

Considerando que el objeto se deja caer desde el reposo ( $v_0 = 0$ ) y que en el suelo la energía potencial es nula ( $h = 0$ ):

0 + m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + 0

Simplificando la masa $m$ y despejando la velocidad final $v$ :

g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v^2

v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}