T5: Física moderna · Dualidad onda-corpúsculo — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2024 · Extraordinaria · Suplente

D2-a

a) Sabiendo que la masa del protón es mayor que la masa del electrón, responda razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: i) Cuando ambas partículas tienen la misma velocidad, la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón es mayor que la asociada al protón. ii) Cuando la energía cinética del electrón es menor que la del protón, la longitud de onda del electrón es mayor que la del protón.

hipótesis de De Broglielongitud de ondaenergía cinética

Dualidad onda-corpúsculo: Hipótesis de De Broglie

De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula de masa $m$ que se desplaza con una velocidad $v$ tiene una longitud de onda asociada $\lambda$ , cuya expresión viene dada por la relación entre la constante de Planck $h$ y el momento lineal de la partícula $p$ :

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

a) i) Cuando ambas partículas tienen la misma velocidad, la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón es mayor que la asociada al protón.

Si la velocidad $v$ es constante para ambas partículas, la longitud de onda es inversamente proporcional a la masa. Dado que el enunciado establece que la masa del protón $m_p$ es mayor que la masa del electrón $m_e$ ( $m_p > m_e$ ):

v_e = v_p = v \implies m_p \cdot v > m_e \cdot v \implies \frac{h}{m_p \cdot v} < \frac{h}{m_e \cdot v}

Esto implica que $\lambda_p < \lambda_e$ , por lo que la afirmación es VERDADERA.

a) ii) Cuando la energía cinética del electrón es menor que la del protón, la longitud de onda del electrón es mayor que la del protón.

Para analizar este caso, relacionamos la longitud de onda con la energía cinética $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ . Expresando el momento lineal en función de la energía cinética, tenemos $p = \sqrt{2 \cdot m \cdot E_c}$ . Sustituyendo en la fórmula de De Broglie:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot E_c}}

Se nos indica que $m_e < m_p$ y que $E_{c,e} < E_{c,p}$ . Multiplicando ambas desigualdades (ya que todos los términos son positivos):

m_e \cdot E_{c,e} < m_p \cdot E_{c,p} \implies \sqrt{2 \cdot m_e \cdot E_{c,e}} < \sqrt{2 \cdot m_p \cdot E_{c,p}}

Dado que el denominador de la expresión para el electrón es menor que el del protón, la longitud de onda resultante será mayor:

\frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_e \cdot E_{c,e}}} > \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_p \cdot E_{c,p}}} \implies \lambda_e > \lambda_p

Por tanto, la afirmación es VERDADERA.