T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

1A-b

b) Un cuerpo de

5 \text{ kg}

desciende con velocidad constante desde una altura de

15 \text{ m}

por un plano inclinado con rozamiento que forma

30^\circ

con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de

20 \text{ N}

paralela al plano y dirigida en sentido ascendente. i) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. ii) Determine razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas hasta que el cuerpo llega al final del plano. Dato:

g = 9,8 \text{ m s}^{-2}

Plano inclinadoRozamientoTrabajo+1

b) i) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

b) ii) Determine razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas hasta que el cuerpo llega al final del plano.

Primero, calculamos la distancia $d$ recorrida por el cuerpo sobre la superficie del plano inclinado a partir de la altura $h = 15 \text{ m}$ y el ángulo $\theta = 30^\circ$ :

d = \frac{h}{\sin \theta} = \frac{15 \text{ m}}{\sin 30^\circ} = \frac{15}{0,5} = 30 \text{ m}

El trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento: $W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = F \cdot d \cdot \cos \alpha$ , donde $\alpha$ es el ángulo entre el vector fuerza y el vector desplazamiento (que apunta hacia abajo del plano).1. Trabajo de la fuerza aplicada ( $F = 20 \text{ N}$ ): Como la fuerza es paralela al plano y ascendente, mientras que el cuerpo desciende, el ángulo es $\alpha = 180^\circ$ .

W_F = F \cdot d \cdot \cos 180^\circ = 20 \text{ N} \cdot 30 \text{ m} \cdot (-1) = -600 \text{ J}

2. Trabajo de la fuerza normal ( $N$ ): Esta fuerza es siempre perpendicular al desplazamiento, por lo que $\alpha = 90^\circ$ .

W_N = N \cdot d \cdot \cos 90^\circ = N \cdot 30 \cdot 0 = 0 \text{ J}

3. Trabajo del peso ( $P$ ): El peso es una fuerza conservativa. El trabajo realizado por el peso depende únicamente del cambio de altura $\Delta h$ .

W_P = m \cdot g \cdot h = 5 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m s}^{-2} \cdot 15 \text{ m} = 735 \text{ J}

4. Trabajo de la fuerza de rozamiento ( $F_r$ ): Para hallar el valor de esta fuerza, usamos que el cuerpo desciende con velocidad constante (aceleración nula). Aplicamos la primera ley de Newton en el eje paralelo al plano:

\sum F_x = m \cdot g \cdot \sin \theta - F - F_r = 0

F_r = m \cdot g \cdot \sin 30^\circ - F = 5 \cdot 9,8 \cdot 0,5 - 20 = 24,5 - 20 = 4,5 \text{ N}

Dado que el rozamiento se opone al movimiento ( $\alpha = 180^\circ$ ):

W_{Fr} = F_r \cdot d \cdot \cos 180^\circ = 4,5 \text{ N} \cdot 30 \text{ m} \cdot (-1) = -135 \text{ J}

Como comprobación, observamos que el trabajo neto es cero ( $735 - 600 - 135 = 0$ ), lo cual es coherente con el teorema de las fuerzas vivas al ser la velocidad constante.