T1: Interacción gravitatoria

Satélites en órbita

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

2A-b

b) Se desea poner alrededor de Júpiter un satélite artificial en órbita circular estacionaria (igual periodo que el planeta). Un día en Júpiter es

0,41

veces el día terrestre y la masa de Júpiter es

318

veces la de la Tierra. Determine: i) el radio orbital alrededor de Júpiter; ii) la relación que existe entre los radios orbitales de dos satélites que orbitan estacionariamente alrededor de la Tierra y de Júpiter.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ ; $M_{\text{Júpiter}} = 1,9 \cdot 10^{27} \text{ kg}$ ; $T_{\text{Tierra}} = 24 \text{ h}$

Órbita geoestacionariaLeyes de KeplerRadio orbital

Para que un satélite esté en una órbita circular estacionaria, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta, y su periodo de revolución debe coincidir con el periodo de rotación del planeta.

F_g = F_c \Rightarrow G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Sustituyendo la velocidad orbital $v = \frac{2\pi r}{T}$ en la igualdad anterior, obtenemos la tercera ley de Kepler:

G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}

i) Para calcular el radio orbital alrededor de Júpiter (

r_J

), primero determinamos su periodo en segundos a partir de los datos proporcionados:

T_J = 0,41 \cdot T_{\text{Tierra}} = 0,41 \cdot 24 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 35424 \text{ s}

Ahora, aplicamos la fórmula del radio orbital con la masa de Júpiter ( $M_J = 1,9 \cdot 10^{27} \text{ kg}$ ):

r_J = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \cdot 1,9 \cdot 10^{27} \text{ kg} \cdot (35424 \text{ s})^2}{4\pi^2}}

r_J \approx 1,59 \cdot 10^8 \text{ m}

ii) Para hallar la relación entre los radios orbitales de Júpiter (

r_J

) y la Tierra (

r_E

), establecemos el cociente a partir de la expresión general del radio orbital:

\frac{r_J}{r_E} = \frac{\sqrt[3]{\frac{G M_J T_J^2}{4\pi^2}}}{\sqrt[3]{\frac{G M_E T_E^2}{4\pi^2}}} = \sqrt[3]{\frac{M_J}{M_E} \left( \frac{T_J}{T_E} \right)^2}

Utilizando las relaciones dadas en el enunciado, $M_J = 318 M_E$ y $T_J = 0,41 T_E$ :

\frac{r_J}{r_E} = \sqrt[3]{318 \cdot (0,41)^2} = \sqrt[3]{318 \cdot 0,1681} = \sqrt[3]{53,4558}

\frac{r_J}{r_E} \approx 3,77

El radio de la órbita estacionaria de Júpiter es aproximadamente 3,77 veces mayor que el de la órbita geoestacionaria de la Tierra.