T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2023 · Ordinaria · Titular

1A-a

a) Un satélite de masa

m

orbita a una altura

h

sobre un planeta de masa

M

y radio

R

. i) Deduzca la expresión de la velocidad orbital del satélite y exprese el resultado en función de

M

R

h

. ii) ¿Cómo cambia su velocidad si la masa del planeta se duplica? ¿Y si se duplica la masa del satélite?

SatéliteVelocidad orbitalÓrbita circular

a) i) Para que un satélite de masa

m

describa una órbita circular estable a una altura

h

sobre la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

, la fuerza de atracción gravitatoria debe actuar como la fuerza centrípeta necesaria para mantener dicha trayectoria.

La distancia desde el centro del planeta hasta el satélite es $r = R + h$ . Igualamos la expresión de la Ley de Gravitación Universal con la de la fuerza centrípeta:

G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Simplificamos la masa del satélite $m$ y un factor del radio de la órbita $r$ en ambos lados de la ecuación:

G \frac{M}{r} = v^2

Sustituyendo $r = R + h$ y despejando la velocidad orbital $v$ , obtenemos la expresión final:

v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R + h}}

a) ii) Analizamos los cambios en la velocidad orbital según las variaciones de masa propuestas:

Si la masa del planeta se duplica ( $M' = 2M$ ), la nueva velocidad $v'$ se relaciona con la original de la siguiente forma:

v' = \sqrt{\frac{G \cdot (2M)}{R + h}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M}{R + h}} = \sqrt{2} \cdot v

Por lo tanto, la velocidad aumenta por un factor de $\sqrt{2}$ (aproximadamente un $41,4 \%$ ).Si se duplica la masa del satélite ( $m' = 2m$ ):Observando la expresión $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R + h}}$ , comprobamos que la velocidad orbital es independiente de la masa del satélite $m$ . Por consiguiente, la velocidad no cambia.